XII Copa Cangur — Final · Categoria Júnior
Preguntes
Cada targeta obre l'enunciat corresponent.
Àrees ombrejades en un quadrat
En un quadrat hi hem traçat alguns segments tal com es veu a la figura, de manera que ens ha quedat un triangle rectangle de catets 4 cm i 5 cm. Quant val l'àrea total de les dues regions ombrejades?
Equació amb sis factors i 225
La següent equació té una única solució entera. Quina és? \[(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)(x-9)(x-11) + 225 = 0\]
Nombres en ziga-zaga
Un nombre enter positiu s'anomena nombre en ziga-zaga si: (a) les seves xifres són diferents de zero i totes diferents; (b) no té tres xifres seguides en ordre ascendent; (c) no té tres xifres seguides en ordre descendent. Per exemple, 1…
Quadrilàter amb dos angles rectes
A la figura hi podeu veure un quadrilàter $ABCD$ i un segment que va del vèrtex $C$ al costat $AD$. Els dos segments marcats tenen la mateixa longitud, i hi ha dos angles rectes marcats a la figura. El costat $AD$ ha quedat dividit en do…
Nombres de sis xifres amb condicions
Quants nombres de 6 xifres compleixen: (a) el dígit 0 no hi apareix; (b) la suma de les dues primeres xifres és igual al nombre format per les dues últimes; (c) el nombre format per les dues xifres centrals és la suma de les dues primere…
Nombres quasicapicua
Anomenem quasicapicua un nombre que si sumem 1 a una i només a una de les seves xifres, de manera que les altres no canviïn, resulta un nombre capicua. Quants nombres quasicapicua de quatre xifres hi ha?
Vuit cercles en un rectangle
Un rectangle alberga vuit cercles tots del mateix radi. Alguns cercles són tangents entre ells i/o tangents als costats del rectangle tal com es veu a la figura. El costat horitzontal del rectangle fa $30(\sqrt{3}-1)$ cm. Quant mesura el…
Paràbola i l'equació f(x)·f(x+k) = 0
Si $f(x) = x^{2} - bx + 9$, amb $b > 0$, quin és el valor de $b$ que fa que l'equació $f(x)\cdot f(x+k) = 0$ tingui exactament dues solucions reals diferents quan $k \neq 0$?
Mesures de segments en una quadrícula
Si a una quadrícula formada per 25 quadradets com la de la figura hi dibuixem tots els segments corresponents a unir 2 punts qualssevol entre ells, quantes mesures diferents tindran aquests segments?
Segment paral·lel en un triangle
Al triangle $ABC$ hi tracem un segment $DE$ paral·lel a $AB$, de manera que l'àrea de $DCE$ és la meitat de la del trapezi $ABDE$. Si el costat $AB$ fa 45 cm, quina seria l'àrea d'un quadrat de costat $DE$?
Fraccions simètriques que sumen 2025
Tenim tres nombres $a$, $b$, $c$ que compleixen que $\dfrac{a+b}{c} + \dfrac{b+c}{a} + \dfrac{c+a}{b} = 2025$. Quin és el valor de $\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)$?
Nombres alegres
Un nombre enter positiu de tres xifres s'anomena alegre si, dividint-lo per la suma dels seus dígits, dona 19. Quina és la suma de tots els nombres alegres?
Perímetre d'una regió ombrejada
A la figura, $ABCD$ és un quadrat mentre que $EFGH$, $HIKL$ i $LMNP$ són simplement rectangles. El costat $AB$ del quadrat mesura $16\sqrt{2}$ cm i el segment $ID$ mesura $6\sqrt{2}$ cm. Quin és el perímetre de la regió ombrejada, en cen…
Dos quadrats en una circumferència
Es dibuixen dos quadrats de costats 3 cm i 4 cm dins d'una circumferència utilitzant 6 segments, de manera que el centre de la circumferència és sobre el costat del quadrat més gran. Quant mesura el radi de la circumferència?