Problema 8 · Paràbola i l'equació f(x)·f(x+k) = 0
Discriminant: quan un producte de dues paràboles té exactament dues arrels.
Resposta entera de 4 xifres com a màximSi $f(x) = x^{2} - bx + 9$, amb $b > 0$, quin és el valor de $b$ que fa que l'equació $f(x)\cdot f(x+k) = 0$ tingui exactament dues solucions reals diferents quan $k \neq 0$?
Solució raonada
Idea clau: $f(x)\cdot f(x+k) = 0$ vol dir $f(x)=0$ o $f(x+k)=0$. Les solucions de la segona són les de la primera desplaçades $k$ unitats.
Si $f$ té dues arrels diferents $r \neq t$ (discriminant positiu), el producte té com a solucions $\{r,\ t,\ r-k,\ t-k\}$: per a un $k \neq 0$ qualsevol això són quatre valors diferents, massa.
Si $f$ no té arrels reals (discriminant negatiu), el producte tampoc en té: cap solució.
L'única manera d'obtenir-ne exactament dues per a tot $k \neq 0$ és que $f$ tingui una arrel doble:
Comprovació: $f(x) = (x-3)^{2}$, i $f(x)\,f(x+k) = 0$ té les solucions $x = 3$ i $x = 3-k$: exactament dues de diferents per a qualsevol $k \neq 0$. ✓