Conjectura de Collatz i Dinàmica simbòlica
Estudio la conjectura de Collatz combinant teoria de nombres i dinàmica simbòlica. La idea central és codificar les òrbites del mapa accelerat $T$ com a paraules sobre un alfabet finit i com a camins en un graf dirigit mòdul 6: cada enter es tradueix en una successió de símbols i cada iteració, en una transició admissible del graf. Així, una pregunta aritmètica es converteix en l'estudi d'un sistema simbòlic —un subshift de tipus finit—, on el graf de transicions, les seves components fortament connexes i les paraules admissibles produeixen resultats exactes: el teorema de Fibonacci per a trajectòries, la dicotomia de creixement de fibres i reduccions de la conjectura en termes del residu $h_m(n) \in \{0,\ldots,5\}$. La direcció a llarg termini és caracteritzar del tot els cicles de $T$ i de les seves generalitzacions $T_D$ des d'aquesta lent simbòlica.
Paper 1
A Fibonacci theorem for Collatz trajectories via modular graph structure
Demostra que per a cada $m\ge1$, exactament $F(m+1)$ enters imparells a $\{1,\ldots,2^m\}$ tenen la propietat que la seva òrbita sota $T$ evita la classe de residus $4\pmod{6}$ durant els passos $2,\ldots,m$, on $F(m+1)$ és el $(m+1)$-è nombre de Fibonacci. La proporció decau a ritme $(\varphi/2)^m$. La demostració usa el graf dirigit $G$ de transicions de Collatz mòdul 6 i la seva única component fortament connexa absorbent. Es construeix una bijecció explícita que codifica enters com a camins dirigits a $G$, i es prova que tot cicle positiu de $T$ ha de visitar la classe $2\pmod{6}$, que per identitat de conservació de flux representa més del 18 % dels passos.
Línies de treball
Codificació simbòlic-modular
Bijeccions $\Phi_m$ (binària) i $\Psi_m$ (mod 6), graf $G$ mod 6 i les seves components fortament connexes. Base estructural dels tres papers.
Creixement de fibres i acoblaments forts
Dicotomia de creixement de fibres controlada per $h_m(n)$, injecció canònica entre fibres traslladades i reducció de la conjectura al pes de Hamming.
Conjectura $h_m = 4$ i descens
El residu 4 mod 6 com a signatura modular de tot acoblament fort. Lema de descens i implicacions per a la unicitat dels cicles.
Collatz generalitzat i cicles
Família $T_D$ per a $D$ senar, correspondència universal rotació–cicle i fórmula de collar de Moreau per comptar cicles de longitud $m$ i pes $s$.
Visualitzacions
Bijeccions Φm i Ψm
Explora la codificació binària i mod 6 de les òrbites de Collatz: periodicitat, antisimetria i la fórmula tancada de Tm(n).
Veure visualitzacions →Publicacions
A Fibonacci theorem for Collatz trajectories via modular graph structure
Manuel-Alejandro Reyes Jiménez — math.NT — 28 maig 2026
Congressos
Les participacions en congressos i seminaris es publicaran aquí a mesura que vagin succeint.