Problema 1 · Àrees ombrejades en un quadrat
Geometria: dues regions ombrejades i un triangle rectangle de catets 4 i 5.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEn un quadrat hi hem traçat alguns segments tal com es veu a la figura, de manera que ens ha quedat un triangle rectangle de catets 4 cm i 5 cm. Quant val l'àrea total de les dues regions ombrejades?
Solució raonada
Idea clau: l'àrea ombrejada total coincideix exactament amb l'àrea del triangle rectangle de catets 4 i 5, sigui quina sigui la mida del quadrat. Ho veiem amb coordenades.
Posem el quadrat de costat $s$ amb vèrtexs $T_L=(0,0)$, $T_R=(s,0)$, $B_R=(s,s)$, $B_L=(0,s)$ (eix $y$ cap avall). Siguin $P=(0,p)$ el punt del costat esquerre i $Q=(q,s)$ el del costat inferior. Les dues rectes traçades són $PB_R$ i $QT_R$, que es tallen a $R$.
Pas 1 — la perpendicularitat força $q=p$. Els vectors directors són $\vec{u}=(s,\,s-p)$ i $\vec{v}=(s-q,\,-s)$. Imposem $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$:
Pas 2 — distàncies a $R$. Escrivim $w = s-p$ i $D = s^2+w^2$. Resolent la intersecció s'obté
Pas 3 — les dues àrees ombrejades. El triangle superior té vèrtexs $T_L$, $P$, $T_R$ i el seu valor és $\dfrac{sp}{2}$. Un càlcul directe dona, per al triangle inferior $Q\,B_R\,R$, l'àrea $\dfrac{s\,w^{3}}{2D}$. Sumant:
És a dir, l'àrea ombrejada total és sempre la meitat del producte dels dos catets: