Problema 13 · Perímetre d'una regió ombrejada
Tres rectangles inclinats 45° sobre la diagonal d'un quadrat.
Resposta entera de 4 xifres com a màximA la figura, $ABCD$ és un quadrat mentre que $EFGH$, $HIKL$ i $LMNP$ són simplement rectangles. El costat $AB$ del quadrat mesura $16\sqrt{2}$ cm i el segment $ID$ mesura $6\sqrt{2}$ cm. Quin és el perímetre de la regió ombrejada, en centímetres?
Solució raonada
Idea clau: tots els costats dels tres rectangles formen $45°$ amb els costats del quadrat, i els punts $H$ i $L$ són sobre la diagonal $AC$. El perímetre dels dos rectangles petits no depèn de la seva posició exacta!
La diagonal del quadrat fa $AC = 16\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 32$ cm.
Rectangle central $HIKL$ (costat $HL$ sobre la diagonal). Tenim $AI = AD - ID = 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$. El costat $AD$ forma $45°$ amb la diagonal i $IH \perp AC$, així que el triangle $AIH$ és rectangle isòsceles:
El mateix argument al vèrtex $C$ (amb $K$ al costat $DC$ i $KL \perp AC$, i $KL = IH = 10$ per ser costats oposats) dona $CL = KL = 10$. Per tant
Rectangle $EFGH$ ($F$ al costat $AB$, $H$ a la diagonal). Els costats $FE$ i $FG$ formen $45°$ amb $AB$, de manera que la distància vertical de $F$ (al costat $AB$) fins a $H$ val $(FE+FG)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$. Però aquesta distància és la de $H$ al costat $AB$, que val $AH\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. Així,
sigui on sigui exactament el punt $F$.
Rectangle $LMNP$ ($N$ al costat $BC$, $L$ a la diagonal): el mateix argument amb la distància de $L$ al costat $BC$, que val $CL\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$, dona perímetre $20$.
Els tres rectangles només es toquen en els punts $H$ i $L$, així que el perímetre de la regió ombrejada és la suma: