Problema 3 · Nombres en ziga-zaga
Combinatòria: patrons de pujada i baixada amb quatre xifres diferents.
Resposta entera de 4 xifres com a màximUn nombre enter positiu s'anomena nombre en ziga-zaga si compleix les tres condicions següents:
- Les seves xifres són diferents de zero i són totes diferents.
- No té tres xifres seguides en ordre ascendent.
- No té tres xifres seguides en ordre descendent.
Per exemple, 14385 i 2917 són nombres en ziga-zaga però 2564 i 71544 no ho són. Quants nombres en ziga-zaga hi ha de quatre xifres?
Solució raonada
Idea clau: separem la tria del conjunt de xifres de la tria de l'ordre en què apareixen.
Les xifres són $4$ valors diferents de $\{1,\dots,9\}$: hi ha $\binom{9}{4}=126$ conjunts possibles.
Fixat un conjunt, mirem el patró de comparacions entre xifres consecutives ($\uparrow$ = puja, $\downarrow$ = baixa; són $3$ comparacions). Prohibir tres xifres seguides creixents o decreixents equival a dir que no hi pot haver dues fletxes iguals seguides. Els únics patrons vàlids són, doncs:
Per a $4$ valors fixats $a