Problema 11 · Fraccions simètriques que sumen 2025
Manipulació algebraica: un producte que amaga la mateixa suma.
Resposta entera de 4 xifres com a màximTenim tres nombres $a$, $b$, $c$ que compleixen que $\dfrac{a+b}{c} + \dfrac{b+c}{a} + \dfrac{c+a}{b} = 2025$. Quin és el valor de
$$\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)?$$
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: escrivim cada factor amb un sol denominador i desenvolupem: apareixen exactament els sis quocients de la hipòtesi.
$$\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right) = \frac{a+b}{a}\cdot\frac{c+a}{c}\cdot\frac{b+c}{b} = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}.$$
Desenvolupant el numerador:
$$(a+b)(b+c)(c+a) = a^{2}b + a^{2}c + ab^{2} + b^{2}c + ac^{2} + bc^{2} + 2abc.$$
En dividir per $abc$, cada terme es converteix en un dels sis quocients $\frac{a}{c}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}, \frac{c}{a}$, més el $2$ final. Però aquests sis quocients són exactament els que apareixen en la condició:
$$\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} = \frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b} = 2025.$$
$$\text{Producte} = 2025 + 2 = 2027.$$
Resposta: 2027