Problema 7 · Vuit cercles en un rectangle
Tangències: files de 3-2-3 cercles iguals i una mica de trigonometria.
Resposta entera de 4 xifres com a màximUn rectangle alberga vuit cercles tots del mateix radi. Alguns cercles són tangents entre ells i/o tangents als costats del rectangle tal com es veu a la figura. El costat horitzontal del rectangle fa $30(\sqrt{3}-1)$ cm. Quant mesura el costat vertical?
Solució raonada
Idea clau: els cercles formen files de 3–2–3. L'amplada fixa el radi; les tangències entre files donen l'alçada.
Sigui $r$ el radi. La fila superior té $3$ cercles tangents entre ells i als dos costats verticals, de manera que l'amplada del rectangle és $6r$:
Els centres de la fila superior són a $x = r, 3r, 5r$ i els de la fila central a $x = 2r, 4r$. Dos centres tangents disten $2r$, amb separació horitzontal $r$; la separació vertical entre files és, per Pitàgores,
L'alçada total és $r$ (de la vora al primer centre) $+\sqrt{3}r + \sqrt{3}r + r$ (de l'últim centre a la vora):