Conjetura de Collatz y Dinámica simbólica
Estudio la conjetura de Collatz combinando teoría de números y dinámica simbólica. La idea central es codificar las órbitas del mapa acelerado $T$ como palabras sobre un alfabeto finito y como caminos en un grafo dirigido módulo 6: cada entero se traduce en una sucesión de símbolos y cada iteración, en una transición admisible del grafo. Así, una pregunta aritmética se convierte en el estudio de un sistema simbólico —un subshift de tipo finito—, donde el grafo de transiciones, sus componentes fuertemente conexas y las palabras admisibles producen resultados exactos: el teorema de Fibonacci para trayectorias, la dicotomía de crecimiento de fibras y reducciones de la conjetura en términos del residuo $h_m(n) \in \{0,\ldots,5\}$. La dirección a largo plazo es caracterizar por completo los ciclos de $T$ y de sus generalizaciones $T_D$ desde esta lente simbólica.
Paper 1
A Fibonacci theorem for Collatz trajectories via modular graph structure
Demuestra que para cada $m\ge1$, exactamente $F(m+1)$ enteros impares en $\{1,\ldots,2^m\}$ tienen la propiedad de que su órbita bajo $T$ evita la clase de residuos $4\pmod{6}$ durante los pasos $2,\ldots,m$, donde $F(m+1)$ es el $(m+1)$-ésimo número de Fibonacci. La proporción decae a ritmo $(\varphi/2)^m$. La demostración usa el grafo dirigido $G$ de transiciones de Collatz módulo 6 y su única componente fuertemente conexa absorbente. Se construye una biyección explícita que codifica enteros como caminos dirigidos en $G$, y se prueba que todo ciclo positivo de $T$ debe visitar la clase $2\pmod{6}$, que por identidad de conservación de flujo supone más del 18 % de los pasos.
Líneas de trabajo
Codificación simbólico-modular
Biyecciones $\Phi_m$ (binaria) y $\Psi_m$ (mod 6), grafo $G$ mod 6 y sus componentes fuertemente conexas. Base estructural de los tres papers.
Crecimiento de fibras y acoplamientos fuertes
Dicotomía de crecimiento de fibras controlada por $h_m(n)$, inyección canónica entre fibras trasladadas y reducción de la conjetura al peso de Hamming.
Conjetura $h_m = 4$ y descenso
El residuo 4 mod 6 como firma modular de todo acoplamiento fuerte. Lema de descenso e implicaciones para la unicidad de ciclos.
Collatz generalizado y ciclos
Familia $T_D$ para $D$ impar, correspondencia universal rotación–ciclo y fórmula de collar de Moreau para contar ciclos de longitud $m$ y peso $s$.
Visualizaciones
Biyecciones Φm y Ψm
Explora la codificación binaria y mod 6 de las órbitas de Collatz: periodicidad, antisimetría y la fórmula cerrada de Tm(n).
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A Fibonacci theorem for Collatz trajectories via modular graph structure
Manuel-Alejandro Reyes Jiménez — math.NT — 28 mayo 2026
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