A Fibonacci theorem for Collatz trajectories

Abstract

We prove that for each $m\ge1$, exactly $F(m+1)$ odd integers in $\{1,\ldots,2^m\}$ have the property that their orbit under the accelerated Collatz map $T$ avoids residue class $4\pmod{6}$ during steps $2,\ldots,m$, where $F(m+1)$ is the $(m+1)$-th Fibonacci number. The proportion decays at rate $(\varphi/2)^m$. The proof uses the directed graph $G$ of Collatz transitions modulo 6 and its unique absorbing strongly connected component $V_3=\{1,2,4,5\}$. An explicit bijection $\Psi_m$ is constructed encoding integers in $\{1,\ldots,6\cdot2^m\}$ as directed paths of $m$ edges in $G$. It is also shown that every positive cycle of $T$ must visit residue class $2\pmod{6}$, which by a flow conservation identity on $G$ accounts for more than $18\%$ of the steps in any cycle.

Interpretación artística del grafo G

La conjetura de Collatz nació en 1937 — el mismo año que El Hobbit de Tolkien. Esta coincidencia inspiró la siguiente ilustración, donde los nodos del grafo G mod 6 se convierten en territorios de un mapa de fantasía y los arcos en puentes que los unen.

El grafo G mod 6 representado como un mapa de fantasía al estilo Tolkien, con islas, puentes y volcanes — El grafo G mod 6, estilo Tolkien — ilustración de Gema Jiménez Camacho, 2026

Resultados principales

Teorema 1

Teorema de Fibonacci

Exactamente $F(m+1)$ enteros impares en $\{1,\ldots,2^m\}$ tienen trayectoria que evita el residuo $4\pmod{6}$ en los pasos $2,\ldots,m$. La proporción decae como $(\varphi/2)^m \to 0$.

Teorema 2

Biyección $\Psi_m$

Construcción explícita de una biyección entre $\{1,\ldots,6\cdot2^m\}$ y los caminos dirigidos de $m$ aristas en el grafo $G$ mod 6 con $m+1$ nodos.

Corolario

Ciclos y residuo 2

Todo ciclo positivo de $T$ debe visitar $2\pmod{6}$. Por la identidad de conservación de flujo en $G$, esto supone más del 18 % de los pasos de cualquier ciclo.

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Cómo citar

@misc{reyesjimenez2026fibonacci,
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  author        = {Reyes Jim\'enez, Manuel-Alejandro},
  year          = {2026},
  eprint        = {2606.02621},
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A Fibonacci theorem for Collatz trajectories via modular graph structure