Visualitzacions

Mòdul 1

Bijeccions Φ_m i Ψ_m

L'aplicació Φ_m envia {1,…,2^m} bijectivament sobre {0,1}^m via n ↦ (c₁,…,c_m). L'aplicació Ψ_m envia {1,…,6·2^m} bijectivament sobre els camins de longitud m en el graf G mod 6. Fes clic a qualsevol fila per veure la trajectòria i la fórmula de T^m.

c_i = Tⁱ⁻¹(n) mod 2 — paritat del i-èsim iterat (0 = parell, 1 = senar)

h_i = Tⁱ⁻¹(n) mod 6 — residu mod 6 del i-èsim iterat

s = ∑ c_i — pes de Hamming (n.º d'iterats senars)

T(n) = n/2 si parell · (3n+1)/2 si senar — mapa accelerat de Collatz

Antisimetria binària: n i n+2^m comparteixen c₁…c_m; el bit c_m+1 és sempre el complementari (0↔1)

Antisimetria mod 6: n i n+3·2^m comparteixen h₁…h_m; el residu h_m+1 és sempre l'oposat (r↔r+3 mod 6)

m = Antisimetria +1 període

Mòdul 2

Residu correctiu R(C^m) i T^m(n)

Explora la fórmula T^m(n) = (3^s·n + R(C^m)) / 2^m: tres mètodes per calcular el residu correctiu (recursiva, explícita, matricial), la llei de concatenació de cadenes i la fórmula de potències. Suporta n ∈ ℤ.

Identitat fonamental

T^m(n)= 3^s·n + R(C^m(n))2^m s = Σ c_i

R(C^m)= 2^m·T^m(n) − 3^s·n

c_i = Tⁱ⁻¹(n) mod 2 · r(i) = c₁+···+c_i · s = r(m) · n ∈ ℤ

Entrada

n = m =

Càlcul de R

Aplicació: T^m(n)

Llei de concatenació

Fes clic en un punt · entre posicions c_i per afegir o treure un tall.

Potències de cadena

R(B^N) = R(B) · 2^pN − 3^r₀N 2^p − 3^r₀

B = cadena base de longitud p B^N = concatenació de B amb ella mateixa N vegades p = longitud(B), r₀ = pes(B) = Σ c_i

Repetir la cadena actual N = vegades

Mòdul 3

Graf G mod 6

Preàmbul — Què visualitza aquest gràfic?

T: mapa de Collatz accelerat — T(n) = n/2 (parell), (3n+1)/2 (senar), T(0)=0. La trajectòria és T⁰(n), T¹(n), T²(n), …

Graf G mod 6: 6 nodes = residus 0–5, 12 arestes. Escriu n = 6k + r. Cada node r té dues arestes sortints: ●verd (k parell) i ●ambre (k senar).

Periodicitat: tots els n amb el mateix residu mod 6 i la mateixa successió de paritats recorren exactament el mateix camí en G durant m iteracions — és a dir, els membres d'una classe de congruència mòdul 6·2^m comparteixen trajectòria durant m passos.

SCCs: V₁={0} punt fix · V₂={3} transitòria · V₃={1,2,4,5} atractor tancat.

G' = G[V₃]: subgraf induït en l'atractor. Distribució estacionària: π(1)=π(4)=1/6, π(2)=π(5)=1/3.

n = m = 0/14 vel

Bijeccions Φm i Ψm

Residu correctiu R(Cm) i Tm(n)

Graf G mod 6

Bijeccions Φ_m i Ψ_m

Residu correctiu R(C^m) i T^m(n)