A Fibonacci theorem for Collatz trajectories via modular graph structure
Abstract
We prove that for each $m\ge1$, exactly $F(m+1)$ odd integers in $\{1,\ldots,2^m\}$ have the property that their orbit under the accelerated Collatz map $T$ avoids residue class $4\pmod{6}$ during steps $2,\ldots,m$, where $F(m+1)$ is the $(m+1)$-th Fibonacci number. The proportion decays at rate $(\varphi/2)^m$. The proof uses the directed graph $G$ of Collatz transitions modulo 6 and its unique absorbing strongly connected component $V_3=\{1,2,4,5\}$. An explicit bijection $\Psi_m$ is constructed encoding integers in $\{1,\ldots,6\cdot2^m\}$ as directed paths of $m$ edges in $G$. It is also shown that every positive cycle of $T$ must visit residue class $2\pmod{6}$, which by a flow conservation identity on $G$ accounts for more than $18\%$ of the steps in any cycle.
Interpretació artística del graf G
La conjectura de Collatz va néixer el 1937 — el mateix any que El Hòbbit de Tolkien. Aquesta coincidència va inspirar la il·lustració següent, on els nodes del graf G mod 6 es converteixen en territoris d'un mapa de fantasia i els arcs en ponts que els uneixen.
Resultats principals
Teorema de Fibonacci
Exactament $F(m+1)$ enters imparells a $\{1,\ldots,2^m\}$ tenen trajectòria que evita el residu $4\pmod{6}$ als passos $2,\ldots,m$. La proporció decau com $(\varphi/2)^m \to 0$.
Bijecció $\Psi_m$
Construcció explícita d'una bijecció entre $\{1,\ldots,6\cdot2^m\}$ i els camins dirigits de $m$ arestes en el graf $G$ mod 6 amb $m+1$ nodes.
Cicles i residu 2
Tot cicle positiu de $T$ ha de visitar $2\pmod{6}$. Per la identitat de conservació de flux a $G$, això representa més del 18 % dels passos de qualsevol cicle.
Com citar
@misc{reyesjimenez2026fibonacci,
title = {A Fibonacci theorem for {Collatz} trajectories via modular graph structure},
author = {Reyes Jim\'enez, Manuel-Alejandro},
year = {2026},
eprint = {2606.02621},
archivePrefix = {arXiv},
primaryClass = {math.NT},
doi = {10.48550/arXiv.2606.02621}
}