Exercici 4 · Opció A · Optimització de superfícies
Minimitzar la suma de les àrees d'un cercle i un quadrat quan la longitud total de les dues baranes està fixada.
Puntuació màxima · 2,5 puntsA l'examen heu de triar una de les dues opcions (A o B). Aquí teniu resolta l'Opció A; l'Opció B és a la pàgina següent.
- L'alcalde d'un poble de Catalunya encarrega a l'arquitecte municipal el disseny d'un parc infantil. Hi ha d'haver dos espais delimitats: un per a una boca de reg (de forma circular) i un altre per a una caseta d'eines (de forma quadrada). Cada espai es delimita amb una barana de forja. Sabent que les dues baranes mesuren exactament 10 m de longitud en total, quina mesura ha de tenir la barana de cada espai perquè la suma de les superfícies dels dos espais sigui tan petita com sigui possible? Quina és aquesta superfície mínima? 2,5 p
Correcció pas a pas
Idea clau: cada barana és el perímetre de la seva figura. Expressem les dues àrees en funció d'una sola variable (la longitud de la barana circular), usant la restricció que sumen 10 m, i minimitzem amb la derivada.
· Plantejament amb una variable
Sigui $c$ la longitud de la barana circular (en metres); aleshores la barana quadrada fa $10-c$. Cada barana és el perímetre de la figura:
La funció a minimitzar, amb $c\in[0,10]$, és:
· Derivada i punt crític
Derivem i igualem a zero:
Com que $A''(c)=\dfrac{1}{2\pi}+\dfrac{1}{8}>0$, la funció és convexa i aquest punt crític és un mínim. La barana quadrada mesura:
· Superfície mínima
Substituïm a $A(c)$. Convé simplificar cada terme: