Exercici 4 · Opció B · Geometria a l'espai
Equació d'un pla per tres punts, àrea del triangle amb el producte vectorial i condició perquè un quart punt formi un tetraedre de volum 1.
Puntuació màxima · 2,5 puntsA l'examen heu de triar una de les dues opcions (A o B). Aquí teniu resolta l'Opció B; l'Opció A és a la pàgina anterior.
Considereu els punts de l'espai $P=(1,0,-1)$, $Q=(3,-2,0)$ i $R=(1,1,1)$.
- Calculeu l'equació del pla que conté els punts $P$, $Q$ i $R$. 0,75 p
- Comproveu que l'àrea del triangle $\triangle PQR$ és $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$. 0,75 p
- Determineu les condicions que han de complir les coordenades d'un quart punt $S=(x,y,z)$ perquè $P$, $Q$, $R$ i $S$ formin un tetraedre de volum 1. (El volum del tetraedre format pels punts $P,Q,R,S$ és $V=\tfrac{1}{6}\,\big|(\vec{PQ}\times\vec{PR})\cdot\vec{PS}\big|$.) 1 p
Correcció pas a pas
Idea clau: dos vectors del pla, $\vec{PQ}$ i $\vec{PR}$, ho controlen tot. El seu producte vectorial dóna el vector normal (per al pla) i el seu mòdul (per a l'àrea); el producte mixt amb $\vec{PS}$ dóna el volum del tetraedre.
4.1) Equació del pla per $P$, $Q$, $R$
Calculem dos vectors directors del pla:
El vector normal és el producte vectorial:
El pla passa per $P=(1,0,-1)$, de manera que $-5(x-1)-4(y-0)+2(z+1)=0$. Desenvolupant (i canviant de signe):
4.2) Àrea del triangle $\triangle PQR$
L'àrea del triangle és la meitat del mòdul del producte vectorial:
4.3) Condició perquè el tetraedre tingui volum 1
Sigui $\vec{PS}=(x-1,\,y,\,z+1)$. El producte mixt és el producte escalar del normal per $\vec{PS}$:
Imposem que el volum del tetraedre sigui 1:
El valor absolut dóna dos casos:
Són dos plans paral·lels al pla $\pi$ (mateix vector normal), un a cada banda, situats a la distància que fa que el tetraedre tingui volum 1.