Ejercicio 4 · Opción A · Optimización de superficies
Minimizar la suma de las áreas de un círculo y un cuadrado cuando la longitud total de las dos barandillas está fijada.
Puntuación máxima · 2,5 puntosEn el examen debes elegir una de las dos opciones (A o B). Aquí tienes resuelta la Opción A; la Opción B está en la página siguiente.
- El alcalde de un pueblo de Cataluña encarga al arquitecto municipal el diseño de un parque infantil. Tiene que haber dos espacios delimitados: uno para una boca de riego (de forma circular) y otro para una caseta de herramientas (de forma cuadrada). Cada espacio se delimita con una barandilla de forja. Sabiendo que las dos barandillas miden exactamente 10 m de longitud en total, ¿qué medida debe tener la barandilla de cada espacio para que la suma de las superficies de los dos espacios sea lo más pequeña posible? ¿Cuál es esta superficie mínima? 2,5 p
Corrección paso a paso
Idea clave: cada barandilla es el perímetro de su figura. Expresamos las dos áreas en función de una sola variable (la longitud de la barandilla circular), usando la restricción de que suman 10 m, y minimizamos con la derivada.
· Planteamiento con una variable
Sea $c$ la longitud de la barandilla circular (en metros); entonces la barandilla cuadrada mide $10-c$. Cada barandilla es el perímetro de la figura:
La función a minimizar, con $c\in[0,10]$, es:
· Derivada y punto crítico
Derivamos e igualamos a cero:
Como $A''(c)=\dfrac{1}{2\pi}+\dfrac{1}{8}>0$, la función es convexa y este punto crítico es un mínimo. La barandilla cuadrada mide:
· Superficie mínima
Sustituimos en $A(c)$. Conviene simplificar cada término: