Exercici 3 · Probabilitat i optimització — Entrades per a un concert

Probabilitat total i condicionada amb arbre, i estudi d'una funció cúbica per saber quan se superen els 100 decibels.

Puntuació màxima · 2,5 punts

L'Ajuntament de Canet de Mar ha aconseguit 24 entrades gratuïtes per a un concert d'un grup de rock català i ha decidit sortejar-les entre els veïns interessats a assistir-hi. Tots els veïns del poble seguidors d'aquest grup s'apunten al sorteig, i només al 16 % els toca una entrada. De la resta de seguidors del grup, sis setenes parts intenten comprar una entrada a través del web, on la probabilitat d'aconseguir-la és del 25 %.

Quantes persones d'aquest municipi tenen entrada per al concert? 0,75 p
Si s'escull a l'atzar un veí de Canet seguidor d'aquest grup de rock i no té entrada per al concert, quina és la probabilitat que hagi intentat aconseguir-la via web? 0,75 p
El nivell de decibels durant la cançó es pot aproximar per $S(t)=-t^3+12t^2-30t+90$, amb $t\in[0,5]$ ($t$ en minuts). Quan se superen els 100 decibels s'activen uns efectes lumínics. S'activaran en algun moment durant aquests cinc minuts? Si la resposta és afirmativa, calculeu en quin minut s'activen, aproximat a les dècimes. 1 p

Batxillerat Científic · Blocs E i D — Estadística i anàlisi Probabilitat total Probabilitat condicionada Funció en interval

Correcció pas a pas

Idea clau: el sorteig reparteix exactament 24 entrades i correspon al 16 % dels seguidors, cosa que fixa quants seguidors hi ha. A partir d'aquí, un arbre ordena qui té entrada i qui no. A l'apartat c) cal comparar $S(t)$ amb 100 en tot l'interval $[0,5]$.

a) Quantes persones tenen entrada

Sigui $N$ el nombre de seguidors. El sorteig dóna entrada al 16 % i això són justament les 24 entrades disponibles:

0{,}16\,N=24 \;\Longrightarrow\; N=\frac{24}{0{,}16}=150\ \text{seguidors.}

Entrades pel sorteig: $24$. Sense entrada de sorteig en queden $150-24=126$. D'aquests, sis setenes parts proven el web:

\tfrac{6}{7}\cdot 126=108 \text{ ho intenten}, \qquad 25\%\text{ ho aconsegueixen}: \;0{,}25\cdot 108=27.

Total amb entrada $=24+27=51$.

Hi ha $150$ seguidors; $51$ persones tenen entrada ($24$ del sorteig $+\,27$ pel web).

b) Probabilitat d'haver provat el web, sabent que no té entrada

Comptem els qui no tenen entrada ($150-51=99$) i, entre ells, els qui havien provat el web:

Van provar el web i no la van aconseguir: $108-27=81$.
No van provar el web (ni la van tenir): $126-108=18$.

En total $81+18=99$ sense entrada, com tocava. La probabilitat condicionada és:

P(\text{web}\mid\text{sense entrada})=\frac{81}{99}=\frac{9}{11}\approx 0{,}818.

$P=\dfrac{9}{11}\approx 0{,}818$ (aproximadament un 81,8 %).

c) S'activen els efectes lumínics?

Cal saber si $S(t)$ arriba a superar $100$ en $[0,5]$. Estudiem els extrems amb la derivada:

S'(t)=-3t^2+24t-30=-3\,(t^2-8t+10)=0 \;\Longrightarrow\; t=4\pm\sqrt{6}.

Dins de $[0,5]$ només hi ha $t=4-\sqrt{6}\approx 1{,}55$. Com que $S''(t)=-6t+24>0$ aquí, és un mínim. Per tant el màxim de $S$ a l'interval s'assoleix en un extrem. Avaluem:

S(0)=90,\qquad S(5)=-125+300-150+90=115.

Com que $S(5)=115>100$, els efectes sí s'activen. Trobem l'instant en què $S(t)=100$:

-t^3+12t^2-30t+90=100 \;\Longrightarrow\; t^3-12t^2+30t+10=0.

La funció baixa de $S(0)=90$ fins al mínim $S(1{,}55)\approx 68{,}6$ i després puja fins a $S(5)=115$, així que talla el nivell 100 una sola vegada, en la part creixent. Resolent numèricament:

t\approx 4{,}11 \;\text{min} \;\Rightarrow\; t\approx 4{,}1 \text{ minuts.}

Sí, s'activen: el nivell supera els 100 dB a partir de $t\approx 4{,}1$ minuts (i s'hi manté fins al final, $t=5$).