Inici / Docència / Mat. Aplicades CCSS 1r BTL / Probabilitat / 03 · Teorema probabilitat total i Bayes
1r BTL CCSS · Probabilitat Apunts 24 abr 2026

3. Teorema de la probabilitat total i de Bayes

Què passa quan l'experiment es fa en dues etapes: primer triem una caixa, després mirem què hi ha dins.

Partició de l'espai mostral

Definició

Diem que els successos $A_1, A_2, \dots, A_n$ formen una partició de l'espai mostral $E$ si compleixen dues condicions:

1) Són incompatibles dos a dos: per a tot $i \neq j$,

$$A_i \cap A_j = \emptyset$$

2) Són exhaustius: la seva unió és tot l'espai mostral,

$$A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = E$$

Pots imaginar la partició com una manera de "tallar" el pastís $E$ en trossos que no se solapen i que entre tots cobreixen el pastís sencer.

Teorema de la probabilitat total

Enunciat

Sigui $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ una partició de l'espai mostral $E$ i $B$ qualsevol succés. Llavors:

$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)$$

O escrit "obert":

$$P(B) = P(B \mid A_1)\,P(A_1) + P(B \mid A_2)\,P(A_2) + \dots + P(B \mid A_n)\,P(A_n)$$

Idea: per calcular $P(B)$, mirem $B$ "passant per cada branca" de la partició i sumem.

E P(A₁) P(A₂) A₁ A₂ P(B|A₁) P(B|A₂) B B P(A₁)·P(B|A₁) P(A₂)·P(B|A₂) sumar
Diagrama d'arbre per a una partició amb dues branques. Multiplica al llarg de cada branca i suma per arribar a $P(B)$.

Teorema de Bayes

Enunciat

Amb la mateixa partició $\{A_1, \dots, A_n\}$ i el succés $B$ amb $P(B) > 0$:

$$P(A_j \mid B) = \dfrac{P(B \mid A_j)\,P(A_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(B \mid A_i)\,P(A_i)} = \dfrac{P(B \mid A_j)\,P(A_j)}{P(B)}$$

Idea: el teorema de Bayes ens permet "donar la volta" a una probabilitat condicionada. Coneixem $P(B \mid A_j)$ (probabilitat de l'efecte donada la causa) i volem $P(A_j \mid B)$ (probabilitat de la causa, donat l'efecte).

El denominador és exactament el teorema de la probabilitat total: per això Bayes "necessita" Total Probability — en realitat són dos cares de la mateixa moneda.

Exemple guiat: dues caixes amb boles

Enunciat

Tenim dues caixes:

  • Caixa A: 6 boles blanques i 4 boles blaves (10 en total).
  • Caixa B: 5 boles blanques i 2 boles blaves (7 en total).

Triem una caixa a l'atzar (50% cadascuna) i n'extraiem una bola a l'atzar.

(a) Quina és la probabilitat que la bola sigui blanca?

(b) Si la bola ha sortit blanca, quina probabilitat hi ha que vingui de la caixa A?

Resolució — apartat (a) · prob. total

Sigui $W = \{\text{bola blanca}\}$. Les caixes $\{A, B\}$ formen una partició de l'espai mostral. Apliquem el teorema de la probabilitat total:

Probabilitats conegudes:

$P(A) = \tfrac{1}{2}$,   $P(B) = \tfrac{1}{2}$,   $P(W \mid A) = \tfrac{6}{10}$,   $P(W \mid B) = \tfrac{5}{7}$

$$P(W) = P(W \mid A)\,P(A) + P(W \mid B)\,P(B) = \tfrac{6}{10} \cdot \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{7} \cdot \tfrac{1}{2}$$
$$P(W) = \tfrac{3}{10} + \tfrac{5}{14} = \tfrac{21}{70} + \tfrac{25}{70} = \tfrac{46}{70} = \tfrac{23}{35} \approx 0{,}657$$

Per tant, una mica més del 65 % de probabilitat de treure blanca.

Resolució — apartat (b) · Bayes

Volem $P(A \mid W)$. Apliquem el teorema de Bayes:

$$P(A \mid W) = \dfrac{P(W \mid A)\,P(A)}{P(W)} = \dfrac{\tfrac{6}{10} \cdot \tfrac{1}{2}}{\tfrac{23}{35}} = \dfrac{\tfrac{3}{10}}{\tfrac{23}{35}}$$
$$P(A \mid W) = \tfrac{3}{10} \cdot \tfrac{35}{23} = \tfrac{105}{230} = \tfrac{21}{46} \approx 0{,}457$$

Tot i que la caixa B té proporcionalment més blanques, el resultat surt $\tfrac{21}{46} \approx 45{,}7\%$ — sí, ha "baixat" respecte al 50 % inicial: saber que ha sortit blanca és una petita evidència contra la caixa A (que té proporcionalment menys blanques).