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1º BTL CCSS · Probabilidad Apuntes 24 abr 2026

3. Teorema de la probabilidad total y de Bayes

Qué pasa cuando el experimento se hace en dos etapas: primero elegimos una caja, después miramos qué hay dentro.

Partición del espacio muestral

Definición

Decimos que los sucesos $A_1, A_2, \dots, A_n$ forman una partición del espacio muestral $E$ si cumplen dos condiciones:

1) Son incompatibles dos a dos: para todo $i \neq j$,

$$A_i \cap A_j = \emptyset$$

2) Son exhaustivos: su unión es todo el espacio muestral,

$$A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = E$$

Puedes imaginar la partición como una manera de "cortar" el pastel $E$ en trozos que no se solapan y que entre todos cubren el pastel entero.

Teorema de la probabilidad total

Enunciado

Sea $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ una partición del espacio muestral $E$ y $B$ cualquier suceso. Entonces:

$$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \mid A_i) \cdot P(A_i)$$

O escrito "abierto":

$$P(B) = P(B \mid A_1)\,P(A_1) + P(B \mid A_2)\,P(A_2) + \dots + P(B \mid A_n)\,P(A_n)$$

Idea: para calcular $P(B)$, miramos $B$ "pasando por cada rama" de la partición y sumamos.

E P(A₁) P(A₂) A₁ A₂ P(B|A₁) P(B|A₂) B B P(A₁)·P(B|A₁) P(A₂)·P(B|A₂) sumar
Diagrama de árbol para una partición con dos ramas. Multiplica a lo largo de cada rama y suma para llegar a $P(B)$.

Teorema de Bayes

Enunciado

Con la misma partición $\{A_1, \dots, A_n\}$ y el suceso $B$ con $P(B) > 0$:

$$P(A_j \mid B) = \dfrac{P(B \mid A_j)\,P(A_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(B \mid A_i)\,P(A_i)} = \dfrac{P(B \mid A_j)\,P(A_j)}{P(B)}$$

Idea: el teorema de Bayes nos permite "darle la vuelta" a una probabilidad condicionada. Conocemos $P(B \mid A_j)$ (probabilidad del efecto dada la causa) y queremos $P(A_j \mid B)$ (probabilidad de la causa, dado el efecto).

El denominador es exactamente el teorema de la probabilidad total: por eso Bayes "necesita" Total Probability — en realidad son dos caras de la misma moneda.

Ejemplo guiado: dos cajas con bolas

Enunciado

Tenemos dos cajas:

  • Caja A: 6 bolas blancas y 4 bolas azules (10 en total).
  • Caja B: 5 bolas blancas y 2 bolas azules (7 en total).

Elegimos una caja al azar (50% cada una) y extraemos una bola al azar.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca?

(b) Si la bola ha salido blanca, ¿qué probabilidad hay de que venga de la caja A?

Resolución — apartado (a) · prob. total

Sea $W = \{\text{bola blanca}\}$. Las cajas $\{A, B\}$ forman una partición del espacio muestral. Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

Probabilidades conocidas:

$P(A) = \tfrac{1}{2}$,   $P(B) = \tfrac{1}{2}$,   $P(W \mid A) = \tfrac{6}{10}$,   $P(W \mid B) = \tfrac{5}{7}$

$$P(W) = P(W \mid A)\,P(A) + P(W \mid B)\,P(B) = \tfrac{6}{10} \cdot \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{7} \cdot \tfrac{1}{2}$$
$$P(W) = \tfrac{3}{10} + \tfrac{5}{14} = \tfrac{21}{70} + \tfrac{25}{70} = \tfrac{46}{70} = \tfrac{23}{35} \approx 0{,}657$$

Por tanto, algo más del 65 % de probabilidad de sacar blanca.

Resolución — apartado (b) · Bayes

Queremos $P(A \mid W)$. Aplicamos el teorema de Bayes:

$$P(A \mid W) = \dfrac{P(W \mid A)\,P(A)}{P(W)} = \dfrac{\tfrac{6}{10} \cdot \tfrac{1}{2}}{\tfrac{23}{35}} = \dfrac{\tfrac{3}{10}}{\tfrac{23}{35}}$$
$$P(A \mid W) = \tfrac{3}{10} \cdot \tfrac{35}{23} = \tfrac{105}{230} = \tfrac{21}{46} \approx 0{,}457$$

Aunque la caja B tiene proporcionalmente más blancas, el resultado sale $\tfrac{21}{46} \approx 45{,}7\%$ — sí, ha "bajado" respecto al 50 % inicial: saber que ha salido blanca es una pequeña evidencia contra la caja A (que tiene proporcionalmente menos blancas).