Unió de conjunts
Definició
La unió de 2 conjunts $A$ i $B$ és un altre conjunt format pels elements que són d'$A$ o de $B$. S'escriu $A \cup B$.
Exemple
Si $A = \{1, 2, 3\}$ i $B = \{2, 3, 4\}$, llavors:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$
Intersecció de conjunts
Definició
La intersecció de 2 conjunts $A$ i $B$ és un altre conjunt format pels elements que són d'$A$ i de $B$ alhora. S'escriu $A \cap B$.
Exemple
Si $A = \{1, 2, 3\}$ i $B = \{2, 3, 4\}$, llavors:
$A \cap B = \{2, 3\}$
Complementari (o contrari) d'un conjunt
Definició
El complementari d'un conjunt $A$ és $\bar{A}$: el conjunt format per tots els elements de l'espai mostral que no són d'$A$.
Exemple
Sigui l'espai mostral $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i:
$A = \{2, 3, 4\}$ ⇒ $\bar{A} = \{1, 5, 6\}$
$B = \{1, 2, 3\}$ ⇒ $\bar{B} = \{4, 5, 6\}$
Propietats
$n(A) + n(\bar{A}) = n(E)$
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$
Lleis de Morgan
Fórmules
Selecciona una de les dues lleis i avança els passos amb els botons. Veuràs com els dos costats de la igualtat dibuixen exactament la mateixa regió de l'espai mostral.
Costat esquerre
Costat dret
Diferència de conjunts
Definició
La diferència de 2 conjunts $A$ i $B$, escrit $A - B$, és un altre conjunt format per tots els elements d'$A$ que no estan en $B$.
Exemple
Si $A = \{1, 2, 3\}$ i $B = \{3, 4, 5\}$, llavors:
$A - B = \{1, 2\}$
Propietats importants
Cardinal de la unió
Probabilitat de la unió
Es resta $P(A \cap B)$ perquè els elements comuns als dos conjunts s'haurien comptat dos cops.
Probabilitat condicionada
Definició
$P(A \mid B)$ és la probabilitat que ocorri el succés $A$ sabent que ja ha ocorregut el succés $B$. Es llegeix «$A$ donat $B$».
Quan condicionem a $B$, restringim l'espai mostral als resultats de $B$, i ens preguntem quants d'aquests també són d'$A$:
Exemple
Sigui $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, i considerem:
$A = \{1, 3, 5, 6\}$ i $B = \{1, 2, 3\}$
Espai mostral E
Restringit a B (nou espai mostral)
En verd, els elements d'$A \cap B$ — els que "compten" per al numerador.
Comptant a la figura: $A \cap B = \{1, 3\}$. Per tant:
$P(A) = \dfrac{4}{6}$, $P(B) = \dfrac{3}{6}$, $P(A \cap B) = \dfrac{2}{6}$
Llegint la figura de la dreta: sabem que ha sortit un element de $B$, així que treballem dins del conjunt verd. Allà hi ha $3$ elements en total, i només $2$ (l'$1$ i el $3$) també pertanyen a $A$ — d'aquí surt $\tfrac{2}{3}$.
Exercicis
Practiquem els conceptes d'aquesta secció: cardinal, unió, intersecció, complementari i probabilitat condicionada. Cada enunciat porta la solució amagada — intenta resoldre'l abans de desplegar-la.
S'enquesten 127 consumidors. 81 tenen una tauleta ($T$), 70 tenen un smartphone ($S$) i 29 en tenen tots dos.
a) Quants consumidors enquestats no tenien ni tauleta ni smartphone?
b) Quina és la probabilitat que, triant un consumidor a l'atzar, només tingui smartphone?
c) En una població de $10\,000$ consumidors, quants es preveu que només tinguin tauleta?
Mostrar resolució
Comencem omplint el diagrama de Venn de dins cap a fora:
- Intersecció: $n(S \cap T) = 29$.
- Només smartphone: $n(S) - n(S \cap T) = 70 - 29 = 41$.
- Només tauleta: $n(T) - n(S \cap T) = 81 - 29 = 52$.
(a) $n(S \cup T) = 41 + 29 + 52 = 122$. Per tant els que no tenen res són:
(b) Probabilitat de tenir només smartphone:
(c) En una mostra de $10\,000$, els que només tenen tauleta serien aproximadament:
En una classe de 20 alumnes, 12 estudien biologia ($B$), 15 estudien història ($H$) i 2 alumnes no estudien ni biologia ni història.
a) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar estudiï les dues matèries.
b) Si un alumne triat a l'atzar estudia biologia, quina és la probabilitat que també estudiï història?
c) En un experiment es tria un alumne a l'atzar i es registren les matèries que estudia. Si l'experiment es repeteix 60 vegades, quin és el nombre esperat de vegades que es triï un alumne que estudia les dues?
Mostrar resolució
Si 2 alumnes no estudien res, llavors $n(B \cup H) = 20 - 2 = 18$. Per la fórmula d'inclusió–exclusió:
(a) Probabilitat d'estudiar les dues:
(b) Probabilitat condicionada:
(c) El nombre esperat en 60 repeticions independents és:
Aquesta fórmula ($n \cdot p$) és la mitjana d'una distribució binomial — la formalitzarem a la unitat de distribucions.