Una capsa, $A$, conté 6 boles blanques i 4 boles blaves; mentre que una altra capsa, $B$, conté 5 boles blanques i 2 blaves. Es tria una capsa a l'atzar i se n'extreuen dues boles sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que:
a) Les dues boles siguin blanques.
b) Les dues boles siguin del mateix color.
c) Les dues boles siguin de diferent color.
Mostrar resolució
Tenim $P(A) = P(B) = \tfrac{1}{2}$. Sigui $W = \{\text{2 boles blanques}\}$ i $V = \{\text{2 boles blaves}\}$.
(a) Probabilitats condicionades:
$P(W \mid A) = \tfrac{6}{10} \cdot \tfrac{5}{9} = \tfrac{30}{90} = \tfrac{1}{3}$, $P(W \mid B) = \tfrac{5}{7} \cdot \tfrac{4}{6} = \tfrac{20}{42} = \tfrac{10}{21}$
Pel teorema de la probabilitat total:
(b) Per al mateix color, sumem $P(W) + P(V)$:
$P(V \mid A) = \tfrac{4}{10} \cdot \tfrac{3}{9} = \tfrac{12}{90} = \tfrac{2}{15}$, $P(V \mid B) = \tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{42} = \tfrac{1}{21}$
(c) Diferent color és el succés contrari:
Es disposa de tres urnes: l'urna $A$ conté 2 boles blanques i 4 boles vermelles; l'urna $B$, 3 boles blanques i 3 de vermelles, i la $C$, 1 de blanca i 5 de vermelles. Si es tria una urna a l'atzar i se n'extreu una bola, quina és la probabilitat que la bola sigui blanca? I si ho és, quina és la probabilitat que procedeixi de l'urna $B$?
Mostrar resolució
Notació. Per evitar confusió entre el nom de l'urna i el color de la bola, fem servir:
· $U_A$, $U_B$, $U_C$ = "triar (a l'atzar) l'urna A, B o C".
· $B$ = "treure una bola blanca", $V$ = "treure una bola vermella".
Probabilitats inicials (l'urna es tria a l'atzar entre les tres):
$P(U_A) = P(U_B) = P(U_C) = \tfrac{1}{3}$
Probabilitats condicionades (cada urna té 6 boles):
| Urna | Composició | $P(B \mid U_x)$ | $P(V \mid U_x)$ |
|---|---|---|---|
| $U_A$ | 2 blanques + 4 vermelles | $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ | $\tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}$ |
| $U_B$ | 3 blanques + 3 vermelles | $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ |
| $U_C$ | 1 blanca + 5 vermelles | $\tfrac{1}{6}$ | $\tfrac{5}{6}$ |
Diagrama d'arbre. 3 branques principals (urna) × 2 branques (color) = 6 camins:
Càlcul de les 6 interseccions (regla del producte $P(U_x \cap \text{color}) = P(U_x) \cdot P(\text{color} \mid U_x)$):
① Probabilitat que la bola sigui blanca — teorema de la probabilitat total. Sumem els tres camins que acaben a $B$:
$P(B) = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}333$
② Probabilitat que provingui de l'urna B sabent que la bola és blanca — teorema de Bayes:
$P(U_B \mid B) = \tfrac{1}{2} = 50\%$
Verificació de coherència. Les tres probabilitats a posteriori han de sumar 1:
$P(U_A \mid B) = \dfrac{1/9}{1/3} = \tfrac{1}{3}, \quad P(U_B \mid B) = \tfrac{1}{2}, \quad P(U_C \mid B) = \dfrac{1/18}{1/3} = \tfrac{1}{6}.$
Suma: $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{2+3+1}{6} = \tfrac{6}{6} = 1$ ✓
Té sentit: l'urna B és la que té més proporció de blanques (la meitat), per això quan veiem una blanca la "sospita" cap a B s'enforteix fins al 50 %, mentre que a la urna A (amb només 1/3 de blanques) baixa al 33,3 % i la urna C (amb 1/6 de blanques) baixa al 16,7 %.
Es llança un dau i se n'observa el resultat. Si el nombre obtingut és parell, s'introdueix una bola blanca en una urna que conté 2 boles blanques i 4 de negres; i si és imparell, s'hi introdueix una bola negra.
a) Calcula la probabilitat d'extreure de l'urna, sense reemplaçament, dues boles blanques si, en llançar el dau, s'ha obtingut un resultat parell.
b) Quina és la probabilitat d'extreure de l'urna, sense reemplaçament, dues boles blanques una vegada llançat el dau?
Mostrar resolució
Sigui $\Pi$ = "el dau dóna parell" i $I$ = "el dau dóna imparell". Tenim $P(\Pi) = P(I) = \tfrac{1}{2}$.
Composició final de l'urna segons el resultat del dau:
- Si $\Pi$: 3 blanques + 4 negres = 7 boles
- Si $I$: 2 blanques + 5 negres = 7 boles
(a) $P(\text{2 blanques} \mid \Pi)$:
(b) Probabilitat total. També necessitem $P(\text{2b} \mid I)$:
$P(\text{2b} \mid I) = \tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{42} = \tfrac{1}{21}$
Una empresa produeix bombetes halògenes i bombetes de baix consum. De cada 7 unitats produïdes, 3 són halògenes i 4 de baix consum. La probabilitat que una bombeta halògena sigui defectuosa és $0{,}02$, i la probabilitat que ho sigui una de baix consum és $0{,}09$. S'escull a l'atzar una bombeta i resulta que no és defectuosa; quina és la probabilitat que sigui halògena?
Mostrar resolució
Sigui $H$ = halògena, $L$ = baix consum, $D$ = defectuosa. Dades:
$P(H) = \tfrac{3}{7}$, $P(L) = \tfrac{4}{7}$, $P(D \mid H) = 0{,}02$, $P(D \mid L) = 0{,}09$
Per tant $P(\bar D \mid H) = 0{,}98$ i $P(\bar D \mid L) = 0{,}91$.
Probabilitat que no sigui defectuosa (probabilitat total):
Aplicant Bayes:
És a dir, hi ha un 44,7 % de probabilitat que sigui halògena.
En un banc, el 30 % dels crèdits concedits són per a l'habitatge; el 50 %, per a empreses, i el 20 % són crèdits al consum. Se sap, a més, que dels crèdits concedits per a l'habitatge, el 10 % acaben impagats; dels atorgats a les empreses, acaben impagats el 20 %, mentre que, dels crèdits al consum, l'impagament afecta el 10 %.
a) Calcula la probabilitat que un crèdit triat a l'atzar sigui pagat.
b) Si un crèdit s'ha pagat, quina probabilitat hi ha que fos de consum?
Mostrar resolució
Sigui $H$ = habitatge, $E$ = empreses, $C$ = consum, $D$ = impagat. Dades:
$P(H) = 0{,}30$, $P(E) = 0{,}50$, $P(C) = 0{,}20$
$P(D \mid H) = 0{,}10$, $P(D \mid E) = 0{,}20$, $P(D \mid C) = 0{,}10$
(a) Probabilitat total de l'impagament:
Per tant:
(b) Apliquem Bayes amb $\bar D$ = pagat. Necessitem $P(\bar D \mid C) = 0{,}90$:
Aproximadament un 21,2 % dels crèdits pagats són de consum.
Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l'empresa ha mirat l'historial de vendes i ha calculat que el 5 % de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que li havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del 15 %. Actualment, el 25 % de la producció és de bicicletes convencionals i el 75 % de bicicletes elèctriques.
a) Si escollim una bicicleta a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui algun tipus de problema que requereixi una revisió postvenda? Si la bicicleta escollida a l'atzar presenta algun tipus de problema, quina és la probabilitat que sigui elèctrica?
b) (Aquest apartat resol-lo a la unitat d'Estadística.) El responsable de qualitat creu que la dada del 15 % ha quedat desfasada perquè la tecnologia ha millorat. Pren una mostra de 100 bicicletes elèctriques venudes en els darrers mesos i observa que només 8 han requerit una revisió postvenda. Troba un interval de confiança del 95 % per a la proporció real i discuteix si la proporció ha disminuït.
Mostrar resolució (apartat a)
Sigui $C$ = convencional, $E$ = elèctrica, $D$ = "té problema". Dades:
$P(C) = 0{,}25$, $P(E) = 0{,}75$, $P(D \mid C) = 0{,}05$, $P(D \mid E) = 0{,}15$
Diagrama d'arbre i probabilitats conjuntes:
Probabilitat que tingui problema (probabilitat total):
Probabilitat que sigui elèctrica donat que té problema (Bayes):
Tot i que les elèctriques només són el 75 % de la producció, el seu percentatge de problemes és tres vegades més alt — per això, vist un problema, la "sospita" cap a les elèctriques puja al 90 %.
Apartat (b): requereix interval de confiança per a una proporció (distribució normal) — el resoldrem a la unitat Distribucions discretes i contínues.