Ejercicio 3 · Probabilidad y optimización — Entradas para un concierto

Probabilidad total y condicionada con árbol, y estudio de una función cúbica para saber cuándo se superan los 100 decibelios.

Puntuación máxima · 2,5 puntos

El Ayuntamiento de Canet de Mar ha conseguido 24 entradas gratuitas para un concierto de un grupo de rock catalán y ha decidido sortearlas entre los vecinos interesados en asistir. Todos los vecinos del pueblo seguidores de este grupo se apuntan al sorteo, y solo al 16 % les toca una entrada. Del resto de seguidores del grupo, seis séptimas partes intentan comprar una entrada a través de la web, donde la probabilidad de conseguirla es del 25 %.

¿Cuántas personas de este municipio tienen entrada para el concierto? 0,75 p
Si se elige al azar un vecino de Canet seguidor de este grupo de rock y no tiene entrada para el concierto, ¿cuál es la probabilidad de que haya intentado conseguirla vía web? 0,75 p
El nivel de decibelios durante la canción se puede aproximar por $S(t)=-t^3+12t^2-30t+90$, con $t\in[0,5]$ ($t$ en minutos). Cuando se superan los 100 decibelios se activan unos efectos lumínicos. ¿Se activarán en algún momento durante estos cinco minutos? Si la respuesta es afirmativa, calcula en qué minuto se activan, aproximado a las décimas. 1 p

Bachillerato Científico · Bloques E y D — Estadística y análisis Probabilidad total Probabilidad condicionada Función en intervalo

Corrección paso a paso

Idea clave: el sorteo reparte exactamente 24 entradas y corresponde al 16 % de los seguidores, lo que fija cuántos seguidores hay. A partir de aquí, un árbol ordena quién tiene entrada y quién no. En el apartado c) hay que comparar $S(t)$ con 100 en todo el intervalo $[0,5]$.

a) Cuántas personas tienen entrada

Sea $N$ el número de seguidores. El sorteo da entrada al 16 % y eso son justamente las 24 entradas disponibles:

0{,}16\,N=24 \;\Longrightarrow\; N=\frac{24}{0{,}16}=150\ \text{seguidores.}

Entradas por el sorteo: $24$. Sin entrada de sorteo quedan $150-24=126$. De estos, seis séptimas partes prueban la web:

\tfrac{6}{7}\cdot 126=108 \text{ lo intentan}, \qquad 25\%\text{ lo consiguen}: \;0{,}25\cdot 108=27.

Total con entrada $=24+27=51$.

Hay $150$ seguidores; $51$ personas tienen entrada ($24$ del sorteo $+\,27$ por la web).

b) Probabilidad de haber probado la web, sabiendo que no tiene entrada

Contamos los que no tienen entrada ($150-51=99$) y, entre ellos, los que habían probado la web:

Probaron la web y no la consiguieron: $108-27=81$.
No probaron la web (ni la tuvieron): $126-108=18$.

En total $81+18=99$ sin entrada, como tocaba. La probabilidad condicionada es:

P(\text{web}\mid\text{sin entrada})=\frac{81}{99}=\frac{9}{11}\approx 0{,}818.

$P=\dfrac{9}{11}\approx 0{,}818$ (aproximadamente un 81,8 %).

c) ¿Se activan los efectos lumínicos?

Hay que saber si $S(t)$ llega a superar $100$ en $[0,5]$. Estudiamos los extremos con la derivada:

S'(t)=-3t^2+24t-30=-3\,(t^2-8t+10)=0 \;\Longrightarrow\; t=4\pm\sqrt{6}.

Dentro de $[0,5]$ solo hay $t=4-\sqrt{6}\approx 1{,}55$. Como $S''(t)=-6t+24>0$ aquí, es un mínimo. Por tanto el máximo de $S$ en el intervalo se alcanza en un extremo. Evaluamos:

S(0)=90,\qquad S(5)=-125+300-150+90=115.

Como $S(5)=115>100$, los efectos sí se activan. Hallamos el instante en que $S(t)=100$:

-t^3+12t^2-30t+90=100 \;\Longrightarrow\; t^3-12t^2+30t+10=0.

La función baja de $S(0)=90$ hasta el mínimo $S(1{,}55)\approx 68{,}6$ y después sube hasta $S(5)=115$, así que corta el nivel 100 una sola vez, en la parte creciente. Resolviendo numéricamente:

t\approx 4{,}11 \;\text{min} \;\Rightarrow\; t\approx 4{,}1 \text{ minutos.}

Sí, se activan: el nivel supera los 100 dB a partir de $t\approx 4{,}1$ minutos (y se mantiene hasta el final, $t=5$).