Pregunta 4 · Urna sense reposició — boles de tres colors

Probabilitats d'extracció sense reposició: same color, almenys una groga i probabilitat condicionada.

Puntuació màxima · 2 punts

Una urna conté 5 boles vermelles, 4 boles negres i 3 boles grogues (12 boles en total). S'extreuen dues boles de l'urna, una darrere l'altra, sense reposició.

Calcula la probabilitat que les dues boles siguin vermelles. 0,5 p
Calcula la probabilitat que les dues boles siguin del mateix color. 0,5 p
Calcula la probabilitat que almenys una de les dues boles sigui groga. 0,5 p
Si sabem que la primera bola extreta ha estat vermella, quina és la probabilitat que la segona també sigui vermella? 0,5 p

Bachillerato CCSS · Bloc E Urna sense reposició Complementari

Correcció pas a pas

Idea clau: sense reposició, la probabilitat de la segona extracció depèn del resultat de la primera. S'usa la regla del producte: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Per a "almenys un", el complementari evita sumar múltiples casos.

a) P(dues vermelles)

Primer extracció: $\frac{5}{12}$ de probabilitat de treure vermella. Si la primera és vermella, queden 4 vermelles de 11 boles totals a la segona extracció.

P(V_1 \cap V_2) = P(V_1) \cdot P(V_2 | V_1) = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{4}{11} = \dfrac{20}{132} = \dfrac{5}{33} \approx 0{,}1515

$P(\text{2 vermelles}) = \dfrac{5}{33} \approx 0{,}152$.

b) P(dues del mateix color)

Sumem els tres casos possibles (V-V, N-N, G-G), que són mútuament excloents:

P(V_1 \cap V_2) = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{4}{11} = \dfrac{20}{132}

P(N_1 \cap N_2) = \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{3}{11} = \dfrac{12}{132}

P(G_1 \cap G_2) = \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{2}{11} = \dfrac{6}{132}

P(\text{mateix color}) = \dfrac{20 + 12 + 6}{132} = \dfrac{38}{132} = \dfrac{19}{66} \approx 0{,}2879

$P(\text{2 del mateix color}) = \dfrac{19}{66} \approx 0{,}288$.

c) P(almenys una groga)

Usem el complementari: "almenys una groga" = 1 − "cap groga". Cap groga significa que les dues boles pertanyen a les $5 + 4 = 9$ boles no grogues.

P(\text{cap groga}) = \dfrac{9}{12} \cdot \dfrac{8}{11} = \dfrac{72}{132} = \dfrac{6}{11}

P(\text{almenys 1 groga}) = 1 - \dfrac{6}{11} = \dfrac{5}{11} \approx 0{,}4545

$P(\text{almenys 1 groga}) = \dfrac{5}{11} \approx 0{,}455$.

d) P(2a vermella | 1a vermella)

Si ja sabem que la primera bola és vermella, queden 11 boles a la urna, de les quals 4 són vermelles:

P(V_2 | V_1) = \dfrac{4}{11} \approx 0{,}3636

Alternativament, per la definició: $P(V_2|V_1) = \dfrac{P(V_1 \cap V_2)}{P(V_1)} = \dfrac{20/132}{5/12} = \dfrac{20}{132} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{4}{11}$. ✓

$P(V_2 \mid V_1) = \dfrac{4}{11} \approx 0{,}364$.