Pregunta 3 · Distribució binomial — bombetes defectuoses

Identificació i paràmetres de la $B(n,p)$; càlcul de probabilitats exactes, acumulades i per complementari.

Puntuació màxima · 2 punts

En una fàbrica de bombetes se sap, per experiència, que el 20% de les bombetes produïdes surten defectuoses. Es trien 10 bombetes a l'atzar de la producció diària.

Justifica que la variable aleatòria $X =$ "nombre de bombetes defectuoses entre les 10 triades" segueix una distribució binomial i escriu els seus paràmetres. 0,5 p
Calcula la probabilitat que exactament 3 bombetes siguin defectuoses. Escriu explícitament la fórmula de la binomial amb els valors substituïts abans de donar el resultat numèric. 0,5 p
Calcula la probabilitat que com a màxim 2 bombetes siguin defectuoses. 0,5 p
Calcula la probabilitat que almenys 4 bombetes siguin defectuoses. 0,5 p

Bachillerato CCSS · Bloc E Distribució binomial

Correcció pas a pas

Idea clau: una variable és binomial $X \sim B(n, p)$ quan es fan $n$ proves independents, cadascuna amb probabilitat d'èxit $p$ constant, i $X$ compta el nombre d'èxits. La fórmula és $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

a) Justificació de la distribució binomial

Comprovem les condicions:

1. Nombre fix de proves: es trien exactament $n = 10$ bombetes.

2. Proves independents: l'estat d'una bombeta no afecta les altres (la producció és molt gran, per la qual cosa triar sense reposició és equivalent a triar amb reposició).

3. Probabilitat constant: la probabilitat que qualsevol bombeta sigui defectuosa és $p = 0{,}20$ en cada extracció.

4. Variable d'èxit: $X$ compta el nombre de bombetes defectuoses (èxit = defectuosa).

$X \sim B(n = 10,\; p = 0{,}20)$. El complement és $q = 1 - p = 0{,}80$.

b) $P(X = 3)$ — exactament 3 defectuoses

Apliquem la fórmula de la binomial amb $n = 10$, $p = 0{,}20$, $k = 3$:

P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot (0{,}20)^3 \cdot (0{,}80)^7

= 120 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}2097152 = 120 \cdot 0{,}001677722 \approx 0{,}2013

$P(X = 3) \approx 0{,}2013$. Aproximadament un 20% de les mostres tindran exactament 3 bombetes defectuoses.

c) $P(X \leq 2)$ — com a màxim 2 defectuoses

$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$

P(X=0) = \binom{10}{0}(0{,}20)^0(0{,}80)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}1074 = 0{,}1074

P(X=1) = \binom{10}{1}(0{,}20)^1(0{,}80)^{9} = 10 \cdot 0{,}20 \cdot 0{,}1342 = 0{,}2684

P(X=2) = \binom{10}{2}(0{,}20)^2(0{,}80)^{8} = 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}1678 = 0{,}3020

P(X \leq 2) = 0{,}1074 + 0{,}2684 + 0{,}3020 = 0{,}6778

$P(X \leq 2) \approx 0{,}6778$. En gairebé el 68% de les mostres hi haurà com a màxim 2 bombetes defectuoses.

d) $P(X \geq 4)$ — almenys 4 defectuoses

Usem el complementari per evitar sumar molts termes. Tenim $P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$.

P(X \leq 3) = P(X \leq 2) + P(X = 3) = 0{,}6778 + 0{,}2013 = 0{,}8791

P(X \geq 4) = 1 - 0{,}8791 = 0{,}1209

$P(X \geq 4) \approx 0{,}1209$. Aproximadament un 12% de les mostres tindrà 4 o més bombetes defectuoses.