Pregunta 5 · Successos A i B — independència i probabilitat condicionada

Intersecció per inclusió-exclusió; criteri d'incompatibilitat i independència; probabilitat condicionada; diferència de successos.

Puntuació màxima · 2 punts

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix espai mostral amb $P(A) = 0{,}4$; $P(B) = 0{,}5$ i $P(A \cup B) = 0{,}7$.

Calcula $P(A \cap B)$. Són $A$ i $B$ successos incompatibles? Justifica la resposta. 0,5 p
Comprova si els successos $A$ i $B$ són independents. Justifica la resposta amb càlculs. 0,5 p
Calcula $P(A|B)$ i $P(B|A)$. 0,5 p
Calcula la probabilitat que es compleixi $A$ però no $B$. 0,5 p

Bachillerato CCSS · Bloc E Propietats de successos Probabilitat condicionada

Correcció pas a pas

Idea clau: (1) Incompatibles $\Leftrightarrow P(A \cap B) = 0$. (2) Independents $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Incompatibles i independents no vol dir el mateix — de fet, si $P(A), P(B) > 0$, ser incompatibles implica ser dependents.

a) $P(A \cap B)$ i incompatibilitat

Aïllem $P(A \cap B)$ de la fórmula d'inclusió-exclusió:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}7 = 0{,}2

Amb aquest valor podem repartir tota la probabilitat en les quatre regions del diagrama de Venn (on $P(\text{sols }A) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$, $P(\text{sols }B) = 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3$ i $P(\overline{A\cup B}) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$):

Verificació: $0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}3 = 1{,}0$ ✓

Dos successos són incompatibles si i només si $P(A \cap B) = 0$. Com que $P(A \cap B) = 0{,}2 \neq 0$, els successos no són incompatibles.

$P(A \cap B) = 0{,}2$. $A$ i $B$ no són incompatibles.

b) Independència

Dos successos són independents si i només si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Comprovem:

P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}20

Com que $P(A \cap B) = 0{,}2 = P(A) \cdot P(B)$, els successos sí que són independents: conèixer que $B$ ha passat no canvia la probabilitat de $A$, i viceversa.

$A$ i $B$ són independents perquè $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}2$.

c) $P(A|B)$ i $P(B|A)$

Apliquem la definició de probabilitat condicionada:

P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4

P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5

Observa que $P(A|B) = P(A) = 0{,}4$ i $P(B|A) = P(B) = 0{,}5$: saber que $B$ ha passat no altera la probabilitat de $A$, consistent amb la independència.

$P(A|B) = 0{,}4 \quad$ i $\quad P(B|A) = 0{,}5$.

d) Probabilitat que passi $A$ però no $B$

El succés "$A$ però no $B$" és $A \cap \overline{B}$. Com que $A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ i els dos termes són disjunts:

P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2

Comprovació via Venn: la zona de $A$ fora de $B$ té probabilitat $0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$. ✓

$P(A \cap \overline{B}) = P(A \text{ però no } B) = 0{,}2$.