Problema 2 · El anillo de triángulos pequeños
Generalizar el patrón: cuántos triángulos unitarios rodean a un triángulo de lado $n$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn la figura puedes ver un triángulo equilátero de lado 3 cm rodeado de 24 triángulos más pequeños. Otro triángulo equilátero mayor se rodea de la misma manera con 102 triángulos pequeños iguales a los anteriores. ¿Cuál es la longitud del lado de este nuevo triángulo?
Solución razonada
Idea clave: contamos el anillo para un lado genérico $n$ y ajustamos la fórmula con el caso conocido $n=3$.
A lo largo de cada lado del triángulo de lado $n$ hay una franja de triángulos unitarios alternados: $n$ que apuntan hacia fuera y $n+1$ que apuntan hacia dentro, en total $2n+1$ por lado. Además, en cada esquina cabe $1$ triángulo más.
Comprobación con la figura: $T(3) = 6\cdot 3 + 6 = 24$ ✓.