Problema 2 · L'anell de triangles petits
Generalitzar el patró: quants triangles unitaris envolten un triangle de costat $n$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximA la figura hi podeu veure un triangle equilàter de costat 3 cm envoltat de 24 triangles més petits. Un altre triangle equilàter més gran s'envolta de la mateixa manera amb 102 triangles petits iguals als anteriors. Quina és la longitud del costat d'aquest nou triangle?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: comptem l'anell per a un costat genèric $n$ i ajustem la fórmula amb el cas conegut $n=3$.
Al llarg de cada costat del triangle de costat $n$ hi ha una franja de triangles unitaris alternats: $n$ que apunten cap enfora i $n+1$ que apunten cap endins, en total $2n+1$ per costat. A més, a cada cantonada hi cap $1$ triangle més.
$$T(n) = 3(2n+1) + 3 = 6n + 6.$$
Comprovació amb la figura: $T(3) = 6\cdot 3 + 6 = 24$ ✓.
$$6n + 6 = 102 \;\Longrightarrow\; n = 16.$$
Resposta: 16