Problema 6 · El cojín dentro del círculo
Mover arcos no cambia áreas: el cojín vale exactamente $2r^2$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoHemos dividido una circunferencia de radio $10$ cm en cuatro arcos iguales. Después hemos trazado dos arcos iguales a los arcos discontinuos para dibujar la figura de la derecha. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución razonada
Idea clave: entre la cuerda y un arco de cuarto de circunferencia siempre queda el mismo segmento circular: sustituir el arco de arriba por su gemelo invertido recorta exactamente dos segmentos por lado.
Llamemos $A$, $B$ a los extremos del arco superior. El segmento circular entre la cuerda $AB$ y el arco (de $90°$) vale
Arriba, el cojín pierde respecto del círculo el segmento del arco original y el del nuevo arco invertido (que es idéntico): $2s$. Lo mismo pasa abajo. Por tanto:
Curiosamente, el $\pi$ desaparece: el área del cojín es exactamente el doble del cuadrado del radio.