Problema 6 · El coixí dins del cercle
Moure arcs no canvia àrees: el coixí val exactament $2r^2$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximHem dividit una circumferència de radi $10$ cm en quatre arcs iguals. Després hem traçat dos arcs iguals als arcs discontinus per a dibuixar la figura de la dreta. Quina és l'àrea de la regió ombrejada?
Solució raonada
Idea clau: entre la corda i un arc de quart de circumferència sempre hi ha el mateix segment circular: substituir l'arc de dalt pel seu bessó capgirat retalla exactament dos segments per costat.
Anomenem $A$, $B$ els extrems de l'arc superior. El segment circular entre la corda $AB$ i l'arc (de $90°$) val
A dalt, el coixí perd respecte del cercle el segment de l'arc original i el del nou arc capgirat (que és idèntic): $2s$. El mateix passa a baix. Per tant:
Curiosament, el $\pi$ desapareix: l'àrea del coixí és exactament el doble del quadrat del radi.