Compatibles i incompatibles
Definició
Dos esdeveniments $A$ i $B$ d'un mateix experiment són:
· Compatibles si poden succeir alhora — és a dir, si tenen elements en comú:
· Incompatibles (o mútuament exclusius) si no poden succeir alhora:
Exemple — Sobre l'espai mostral $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$
Considerem els esdeveniments $A = \{1,3,4\}$, $B = \{2,4\}$ i $C = \{2,5\}$.
$A$ i $B$ són compatibles: comparteixen el $4$, i.e. $A \cap B = \{4\}$.
$A$ i $C$ són incompatibles: no comparteixen cap element, $A \cap C = \varnothing$.
Conseqüència — Regla de la suma per incompatibles
Si $A$ i $B$ són incompatibles ($A \cap B = \varnothing$), aleshores $P(A \cap B) = 0$ i la fórmula general de la unió es simplifica:
Si $A$ i $B$ no són incompatibles, no es pot eliminar el terme $P(A \cap B)$ — es comptaria dues vegades la zona compartida.
Dependents i independents
Definició
$A$ i $B$ són independents si el fet que un dels dos succeeixi no afecta la probabilitat de l'altre. Formalment, $A$ i $B$ són independents si i només si:
En cas contrari, es diu que són dependents.
Conseqüència — Regla del producte per independents
Recordem la definició de probabilitat condicionada: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Si imposem la condició d'independència $P(A) = P(A \mid B)$:
Aquesta és la regla del producte: la probabilitat de la intersecció de dos esdeveniments independents és el producte de les seves probabilitats.
Independents ≠ Incompatibles
Dos conceptes diferents que sovint es confonen:
· Incompatibles: $A \cap B = \varnothing$ (no es poden donar alhora).
· Independents: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (el fet que un succeeixi no canvia la probabilitat de l'altre).
De fet, si $A$ i $B$ tenen probabilitat positiva i són incompatibles ($P(A \cap B) = 0$), llavors no poden ser independents (perquè $P(A) \cdot P(B) > 0$).
Exemple — $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$, independents. Calcula $P(A - B)$.
Com que $A$ i $B$ són independents, apliquem la regla del producte:
I la diferència $A - B$ són els elements de $A$ que no són a $B$. Per tant:
Exercicis
Sobre l'espai mostral $\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, considera els esdeveniments $A = \{2,4,6,8,10\}$ (parells), $B = \{1,3,5,7,9\}$ (senars), $C = \{1,2,3\}$ i $D = \{5,6,7,8\}$. Per a cada parell, indica si són compatibles o incompatibles i justifica-ho amb la intersecció.
a) $A$ i $B$
$A \cap B = \varnothing$ (cap número és parell i senar alhora).
b) $A$ i $C$
$A \cap C = \{2\}$ (el 2 és parell i menor o igual a 3).
c) $B$ i $D$
$B \cap D = \{5,7\}$ (els senars dins de $D$).
d) $C$ i $D$
$C \cap D = \varnothing$ (els elements de $C$ són $\le 3$ i els de $D$ són $\ge 5$).
En llançar un dau correcte de 6 cares, considera $A$ = "treure un nombre parell" i $B$ = "treure un múltiple de 5". Calcula:
a) $P(A)$, $P(B)$ i $P(A \cap B)$. Són $A$ i $B$ incompatibles?
$A = \{2,4,6\}$, $B = \{5\}$. Llei de Laplace:
Com que $A \cap B = \varnothing$, són incompatibles.
b) $P(A \cup B)$.
Com que són incompatibles, apliquem la regla de la suma:
Sigui $A$ i $B$ dos esdeveniments amb $P(A) = 0{,}4$ i $P(B) = 0{,}25$. Suposa que són independents.
a) Calcula $P(A \cap B)$.
Per la regla del producte:
b) Calcula $P(A \cup B)$.
Pel principi d'inclusió-exclusió:
c) Calcula $P(A - B)$.
$A - B$ són els elements de $A$ que no són de $B$:
d) Comprova que $P(A \mid B) = P(A)$.
Per la definició de probabilitat condicionada:
✓ Aquesta igualtat és la definició d'independència — verifiquem que es compleix.
Per a cada experiment, raona si els dos esdeveniments són independents o dependents.
a) Llancem dos daus. $A$ = "el primer dau treu 6", $B$ = "el segon dau treu un nombre parell".
El resultat del primer dau no afecta el del segon — són dos llançaments separats.
Comprovació: $P(A) = \tfrac{1}{6}$, $P(B) = \tfrac{1}{2}$, $P(A \cap B) = \tfrac{1}{12} = \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{2}$ ✓.
b) Treiem dues cartes seguides d'una baralla espanyola (40 cartes), sense reposició. $A$ = "la 1a carta és or", $B$ = "la 2a carta és or".
Si surt or a la primera, queden 9 ors entre 39 cartes. Si no surt or, queden 10 ors entre 39. La probabilitat de $B$ depèn del que ha passat a $A$.
$P(B \mid A) = \tfrac{9}{39}$ però $P(B \mid \overline{A}) = \tfrac{10}{39}$ — diferents → no independents.
c) Mateix experiment però amb reposició (després de la 1a carta, la tornem a la baralla i barregem). $A$ = "la 1a és or", $B$ = "la 2a és or".
En tornar la carta, la baralla es restaura: la 2a carta s'extreu d'una baralla de 40 cartes amb 10 ors, igual que la 1a.
Aquesta és la diferència clau entre "amb" i "sense" reposició.
d) Una urna conté 3 boles vermelles i 2 negres. Treiem 2 boles, una rere l'altra, sense reposició. $A$ = "la 1a és vermella", $B$ = "la 2a és vermella".
Sense reposició, el contingut de l'urna canvia després de la 1a extracció:
· Si surt vermella ($A$), queden $2$ vermelles i $2$ negres → $P(B \mid A) = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$.
· Si no surt vermella ($\overline{A}$), queden $3$ vermelles i $1$ negra → $P(B \mid \overline{A}) = \tfrac{3}{4}$.