Problema 2 · Equació amb sis factors i 225
Sis factors en progressió aritmètica i un producte que ha de valer −225.
Resposta entera de 4 xifres com a màximLa següent equació té una única solució entera. Quina és?
$$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)(x-9)(x-11) + 225 = 0$$
Copa Cangur · SCM
Fàcil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: busquem $x$ enter amb $(x-1)(x-3)\cdots(x-11) = -225$. Com que $-225$ és senar, tots sis factors han de ser senars, és a dir, $x$ ha de ser parell.
Els sis factors són sis enters consecutius de la mateixa paritat (salt $2$). Provem el valor central $x=6$:
$$5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-3) \cdot (-5) = -225. \;\checkmark$$
Per descartar la resta: si $x \le 0$ o $x \ge 12$, els sis factors tenen el mateix signe per parelles i el producte és positiu (i molt gran), mai $-225$. Queden els parells interiors:
$$x=2:\; -945, \qquad x=4:\; -315, \qquad x=8:\; +315, \qquad x=10:\; -945.$$
Cap no val $-225$. La solució entera és única.
Resposta: 6