Problema 2 · Ecuación con seis factores y 225
Seis factores en progresión aritmética y un producto que debe valer −225.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoLa siguiente ecuación tiene una única solución entera. ¿Cuál es?
$$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)(x-9)(x-11) + 225 = 0$$
Copa Cangur · SCM
Fácil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: buscamos $x$ entero con $(x-1)(x-3)\cdots(x-11) = -225$. Como $-225$ es impar, los seis factores deben ser impares, es decir, $x$ debe ser par.
Los seis factores son seis enteros consecutivos de la misma paridad (salto $2$). Probamos el valor central $x=6$:
$$5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-3) \cdot (-5) = -225. \;\checkmark$$
Para descartar el resto: si $x \le 0$ o $x \ge 12$, los seis factores tienen el mismo signo por parejas y el producto es positivo (y muy grande), nunca $-225$. Quedan los pares interiores:
$$x=2:\; -945, \qquad x=4:\; -315, \qquad x=8:\; +315, \qquad x=10:\; -945.$$
Ninguno vale $-225$. La solución entera es única.
Respuesta: 6