Problema 12 · Nombres alegres
Nombres de tres xifres que són 19 vegades la suma de les seves xifres.
Resposta entera de 4 xifres com a màximUn nombre enter positiu de tres xifres s'anomena alegre si, dividint-lo per la suma dels seus dígits, dona 19. Quina és la suma de tots els nombres alegres?
Solució raonada
Idea clau: un nombre alegre és $n = 19s$, on $s$ és la suma de les seves xifres. Només cal recórrer els valors possibles de $s$.
Com que $n$ té tres xifres, $100 \le 19s \le 999$ dona $6 \le s \le 52$; però la suma de xifres d'un nombre de tres xifres és com a màxim $27$. Per tant $s \in \{6, \dots, 27\}$.
Comprovem quins $19s$ tenen suma de xifres exactament $s$. Per a $s = 6, 7, \dots, 15$ tots funcionen:
(per exemple $114 = 19\cdot 6$ i $1+1+4 = 6$ ✓). Per a $s = 16, \dots, 20$ i $s = 22, \dots, 27$ falla (per exemple $19 \cdot 16 = 304$ té suma $7 \ne 16$), i per a $s = 21$ funciona: $399 = 19 \cdot 21$ amb $3+9+9 = 21$ ✓.
La suma demanada: els deu primers formen una progressió aritmètica de diferència 19,