Problema 12 · Números alegres
Números de tres cifras que son 19 veces la suma de sus cifras.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoUn número entero positivo de tres cifras se llama alegre si, al dividirlo por la suma de sus dígitos, da 19. ¿Cuál es la suma de todos los números alegres?
Solución razonada
Idea clave: un número alegre es $n = 19s$, donde $s$ es la suma de sus cifras. Solo hay que recorrer los valores posibles de $s$.
Como $n$ tiene tres cifras, $100 \le 19s \le 999$ da $6 \le s \le 52$; pero la suma de cifras de un número de tres cifras es como máximo $27$. Por tanto $s \in \{6, \dots, 27\}$.
Comprobamos qué $19s$ tienen suma de cifras exactamente $s$. Para $s = 6, 7, \dots, 15$ todos funcionan:
(por ejemplo $114 = 19\cdot 6$ y $1+1+4 = 6$ ✓). Para $s = 16, \dots, 20$ y $s = 22, \dots, 27$ falla (por ejemplo $19 \cdot 16 = 304$ tiene suma $7 \ne 16$), y para $s = 21$ funciona: $399 = 19 \cdot 21$ con $3+9+9 = 21$ ✓.
La suma pedida: los diez primeros forman una progresión aritmética de diferencia 19,