Problema 4 · L'angle entre les diagonals del trapezi
Mig hexàgon regular: cada diagonal forma 30° amb la base.
Resposta entera de 4 xifres com a màximA la següent figura els costats $BC$, $CD$ i $AD$ tenen la mateixa longitud i el costat $AB$ és el doble que el costat $BC$, i a més aquests dos costats són paral·lels. Troba el valor de l'angle $\alpha$.
Solució raonada
Idea clau: un trapezi isòsceles amb base doble i tres costats iguals és exactament mig hexàgon regular tallat per un diàmetre.
Posem $BC = CD = AD = 1$ i $AB = 2$. Si $M$ és el punt mitjà d'$AB$, els triangles $ADM$ i $BCM$ són equilàters: tots els angles de la figura són de $60°$ o $120°$.
La diagonal $AC$: el triangle $ACM$... més directe amb coordenades: $A=(0,0)$, $B=(2,0)$, $D=\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $C=\left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. El pendent d'$AC$ és $\tfrac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \tfrac{1}{\sqrt{3}}$, és a dir $AC$ forma $30°$ amb $AB$. Per simetria, $BD$ també forma $30°$ amb la base (per l'altre costat).