Problema 3 · Cinc enters i una potència
Provar bases petites: $2^{6} = (3\cdot 5 + 1)\cdot 4$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximTrobeu 5 nombres enters de manera que $0 < a < b < c < d < e < 10$ i $a^{e} = (bd + 1) \cdot c$. (Doneu com a resposta el resultat de multiplicar aquests cinc nombres).
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: $a$ no pot ser $1$ ($1^{e} = 1$ és massa petit) i si $a \ge 3$ la potència $a^{e}$ amb $e > 4$ es fa enorme. Provem $a = 2$.
Amb $a = 2$ i exponents moderats: $2^{6} = 64$. Busquem $b, c, d$ amb $2 < b < c < d < 6$ i $(bd+1)c = 64$: provant $b=3$, $c=4$, $d=5$:
$$(3 \cdot 5 + 1) \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 = 2^{6}. \;\checkmark$$
Per tant $(a,b,c,d,e) = (2,3,4,5,6)$ — cinc enters consecutius! El producte:
$$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720.$$
Resposta: 720