Problema 4 · El ángulo entre las diagonales del trapecio
Medio hexágono regular: cada diagonal forma 30° con la base.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn la siguiente figura los lados $BC$, $CD$ y $AD$ tienen la misma longitud y el lado $AB$ es el doble que el lado $BC$, y además estos dos lados son paralelos. Halla el valor del ángulo $\alpha$.
Solución razonada
Idea clave: un trapecio isósceles con base doble y tres lados iguales es exactamente medio hexágono regular cortado por un diámetro.
Ponemos $BC = CD = AD = 1$ y $AB = 2$. Si $M$ es el punto medio de $AB$, los triángulos $ADM$ y $BCM$ son equiláteros: todos los ángulos de la figura son de $60°$ o $120°$.
Con coordenadas: $A=(0,0)$, $B=(2,0)$, $D=\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $C=\left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. La pendiente de $AC$ es $\tfrac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \tfrac{1}{\sqrt{3}}$, es decir $AC$ forma $30°$ con $AB$. Por simetría, $BD$ también forma $30°$ con la base (por el otro lado).