Problema 2 · El ziga-zaga més gran
Construcció golafre dígit a dígit evitant tres xifres monòtones.
Resposta entera de 4 xifres com a màximUn nombre enter positiu s'anomena nombre en ziga-zaga si compleix les tres condicions següents:
- Les seves xifres són diferents de zero i són totes diferents.
- No té tres xifres seguides en ordre ascendent.
- No té tres xifres seguides en ordre descendent.
Per exemple, 14385 i 2917 són nombres en ziga-zaga però 2564 i 71544 no ho són. Quin és el nombre en ziga-zaga de quatre xifres més gran?
Solució raonada
Idea clau: per maximitzar, triem la xifra més gran possible d'esquerra a dreta, vigilant que mai quedin tres xifres seguides monòtones.
Primera xifra: $9$. Segona: $8$? Aleshores tindríem $9 > 8$ i la tercera hauria de ser més gran que $8$ per evitar tres descendents: només el $9$, ja usat. Impossible: la segona ha de ser $7$.
Amb $9 > 7$, la tercera ha de pujar: la més gran disponible és $8$ → $978$. La quarta ha de baixar (per evitar $7 < 8 < x$ ascendent... de fet $x$ ha de ser menor que $8$) i diferent de les usades: la més gran és $6$.