Problema 3 · Cinco enteros y una potencia
Probar bases pequeñas: $2^{6} = (3\cdot 5 + 1)\cdot 4$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEncuentra 5 números enteros de manera que $0 < a < b < c < d < e < 10$ y $a^{e} = (bd + 1) \cdot c$. (Da como respuesta el resultado de multiplicar estos cinco números).
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: $a$ no puede ser $1$ ($1^{e} = 1$ es demasiado pequeño) y si $a \ge 3$ la potencia $a^{e}$ con $e > 4$ se hace enorme. Probamos $a = 2$.
Con $a = 2$ y exponentes moderados: $2^{6} = 64$. Buscamos $b, c, d$ con $2 < b < c < d < 6$ y $(bd+1)c = 64$: probando $b=3$, $c=4$, $d=5$:
$$(3 \cdot 5 + 1) \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64 = 2^{6}. \;\checkmark$$
Por tanto $(a,b,c,d,e) = (2,3,4,5,6)$ — ¡cinco enteros consecutivos! El producto:
$$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720.$$
Respuesta: 720