Ejercicio 4 · Opción B · Geometría en el espacio
Ecuación de un plano por tres puntos, área del triángulo con el producto vectorial y condición para que un cuarto punto forme un tetraedro de volumen 1.
Puntuación máxima · 2,5 puntosEn el examen debes elegir una de las dos opciones (A o B). Aquí tienes resuelta la Opción B; la Opción A está en la página anterior.
Considera los puntos del espacio $P=(1,0,-1)$, $Q=(3,-2,0)$ y $R=(1,1,1)$.
- Calcula la ecuación del plano que contiene los puntos $P$, $Q$ y $R$. 0,75 p
- Comprueba que el área del triángulo $\triangle PQR$ es $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$. 0,75 p
- Determina las condiciones que deben cumplir las coordenadas de un cuarto punto $S=(x,y,z)$ para que $P$, $Q$, $R$ y $S$ formen un tetraedro de volumen 1. (El volumen del tetraedro formado por los puntos $P,Q,R,S$ es $V=\tfrac{1}{6}\,\big|(\vec{PQ}\times\vec{PR})\cdot\vec{PS}\big|$.) 1 p
Corrección paso a paso
Idea clave: dos vectores del plano, $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$, lo controlan todo. Su producto vectorial da el vector normal (para el plano) y su módulo (para el área); el producto mixto con $\vec{PS}$ da el volumen del tetraedro.
4.1) Ecuación del plano por $P$, $Q$, $R$
Calculamos dos vectores directores del plano:
El vector normal es el producto vectorial:
El plano pasa por $P=(1,0,-1)$, de manera que $-5(x-1)-4(y-0)+2(z+1)=0$. Desarrollando (y cambiando de signo):
4.2) Área del triángulo $\triangle PQR$
El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial:
4.3) Condición para que el tetraedro tenga volumen 1
Sea $\vec{PS}=(x-1,\,y,\,z+1)$. El producto mixto es el producto escalar del normal por $\vec{PS}$:
Imponemos que el volumen del tetraedro sea 1:
El valor absoluto da dos casos:
Son dos planos paralelos al plano $\pi$ (mismo vector normal), uno a cada lado, situados a la distancia que hace que el tetraedro tenga volumen 1.