Pregunta 4 · Una espiral en el diagrama de Argand
Giro y homotecia como producto por $0{,}9\,e^{\frac{\pi}{6}i}$; expresión de $z_n$; inecuación con logaritmos; semieje imaginario
Puntuación máxima · 10 puntosEn un diagrama de Argand, el punto $P_0$ representa el número complejo $z_0 = 6$. Cada segundo el punto gira un ángulo de $\dfrac{\pi}{6}$ radianes alrededor del origen, en sentido positivo, y además su distancia al origen queda multiplicada por $0{,}9$. Se denota por $z_n$ el número complejo que representa la posición del punto al cabo de $n$ segundos.
- Escribe $z_1$ en forma de Euler y en forma binómica. 3 p
- Escribe una expresión de $z_n$ en función de $n$. 3 p
- Halla el primer instante en el que el punto se encuentra a menos de $1$ unidad del origen. 2 p
- Halla todos los instantes en los que el punto se encuentra sobre el semieje imaginario positivo. 2 p
Corrección paso a paso
a) El primer paso
Forma de Euler 2 p, forma binómica 1 p.
b) El paso $n$
Cada segundo el módulo se multiplica por $0{,}9$ y el argumento aumenta en $\frac{\pi}{6}$:
Módulo 1 p, argumento 1 p, expresión completa 1 p.
c) A menos de una unidad
Al dividir por $\ln 0{,}9 < 0$ la desigualdad cambia de sentido. Comprobación: $6\,(0{,}9)^{17} \approx 1{,}0006$ todavía no baja de $1$, y $6\,(0{,}9)^{18} \approx 0{,}90$ sí.
Planteamiento 1 p, resultado entero 1 p.
d) Sobre el semieje imaginario positivo
Hace falta que el argumento sea $\frac{\pi}{2}$ más un número entero de vueltas:
Ecuación 1 p, solución general 1 p.