Pregunta 4 · Una espiral al diagrama d'Argand
Gir i homotècia com a producte per $0{,}9\,e^{\frac{\pi}{6}i}$; expressió de $z_n$; inequació amb logaritmes; semieix imaginari
Puntuació màxima · 10 puntsEn un diagrama d'Argand, el punt $P_0$ representa el nombre complex $z_0 = 6$. Cada segon el punt gira un angle de $\dfrac{\pi}{6}$ radians al voltant de l'origen, en sentit positiu, i a més la seva distància a l'origen queda multiplicada per $0{,}9$. Es denota per $z_n$ el nombre complex que representa la posició del punt al cap de $n$ segons.
- Escriu $z_1$ en forma d'Euler i en forma binòmica. 3 p
- Escriu una expressió de $z_n$ en funció de $n$. 3 p
- Troba el primer instant en què el punt és a menys d'$1$ unitat de l'origen. 2 p
- Troba tots els instants en què el punt és sobre el semieix imaginari positiu. 2 p
Correcció pas a pas
a) El primer pas
Forma d'Euler 2 p, forma binòmica 1 p.
b) El pas $n$
Cada segon el mòdul es multiplica per $0{,}9$ i l'argument augmenta $\frac{\pi}{6}$:
Mòdul 1 p, argument 1 p, expressió completa 1 p.
c) A menys d'una unitat
En dividir per $\ln 0{,}9 < 0$ la desigualtat canvia de sentit. Comprovació: $6\,(0{,}9)^{17} \approx 1{,}0006$ encara no baixa d'$1$, i $6\,(0{,}9)^{18} \approx 0{,}90$ sí.
Plantejament 1 p, resultat enter 1 p.
d) Sobre el semieix imaginari positiu
Cal que l'argument sigui $\frac{\pi}{2}$ més un nombre enter de voltes:
Equació 1 p, solució general 1 p.