Pregunta 3 · Complejos en forma polar y de Euler
Módulo y argumento exactos; producto y cociente en polar; De Moivre; raíces conjugadas
Puntuación máxima · 14 puntosSe consideran los números complejos $z_1 = 3 - 3i$ y $z_2 = -1 + \sqrt{3}\,i$.
- Escribe $z_1$ y $z_2$ en forma módulo-argumental, $r\operatorname{cis}\theta$, y en forma de Euler. Da los módulos y los argumentos de forma exacta. 4 p
- Halla $z_1z_2$ y $\dfrac{z_1}{z_2}$ en forma módulo-argumental. Escribe además $z_1z_2$ en forma binómica, con tres cifras significativas. 4 p
- Halla $z_2^{6}$ en forma binómica, justificando el procedimiento utilizado. 3 p
- Escribe una ecuación de segundo grado con coeficientes reales que tenga a $z_2$ como una de sus soluciones. Justifica la respuesta. 3 p
IB AI HL
TANS 1.12
TANS 1.13
Corrección paso a paso
a) Forma polar y de Euler
$$|z_1| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}, \qquad \arg z_1 = -\dfrac{\pi}{4}\ \text{(cuarto cuadrante)}$$
$$|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2, \qquad \arg z_2 = \dfrac{2\pi}{3}\ \text{(segundo cuadrante)}$$
$z_1 = 3\sqrt{2}\operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3\sqrt{2}\,e^{-\frac{\pi}{4}i}, \qquad z_2 = 2\operatorname{cis}\frac{2\pi}{3} = 2\,e^{\frac{2\pi}{3}i}$
Cada módulo 1 p, cada argumento 1 p.
b) Producto y cociente
Se multiplican (dividen) los módulos y se suman (restan) los argumentos:
$$z_1z_2 = 6\sqrt{2}\operatorname{cis}\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) \approx 2{,}20 + 8{,}20\,i, \qquad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\operatorname{cis}\left(-\dfrac{11\pi}{12}\right)$$
Producto 2 p, forma binómica 1 p, cociente 1 p.
c) Potencia sexta
Por el teorema de De Moivre,
$$z_2^{6} = 2^{6}\operatorname{cis}\left(6\cdot\dfrac{2\pi}{3}\right) = 64\operatorname{cis}(4\pi) = 64$$
$z_2^6 = 64$
Uso de De Moivre 1 p, módulo 1 p, argumento y conclusión 1 p.
d) Ecuación con coeficientes reales
Con coeficientes reales, las raíces no reales aparecen en pares conjugados, así que la otra raíz es $\bar{z}_2 = -1 - \sqrt{3}\,i$. Su suma es $-2$ y su producto $|z_2|^2 = 4$, de donde
$x^2 + 2x + 4 = 0$
Raíz conjugada 1 p, suma y producto 1 p, ecuación 1 p.