Pregunta 2 · Modelo sinusoidal: las mareas de un puerto
Parámetros de $a\sin(b(t-c))+d$ a partir de la marea alta y la baja; inecuación con tecnología; límites del modelo
Puntuación máxima · 18 puntosLa profundidad del agua en la bocana de un puerto se puede modelizar mediante
donde $h$ es la profundidad, en metros, y $t$ el tiempo, en horas, transcurrido desde la medianoche. Un día concreto se registra una marea alta de $12{,}6$ m a las 4:00 y la siguiente marea baja, de $5{,}4$ m, a las 10:15.
- Halla los valores de $a$ y de $d$, e interpreta el significado de cada uno en el contexto del problema. 4 p
- Halla el periodo del modelo y, a partir de él, los valores de $b$ y de $c$. 5 p
- Halla la profundidad del agua a las 13:00. 3 p
- Un buque solo puede entrar en el puerto si la profundidad del agua es de al menos $11$ m. Halla el intervalo de tiempo, durante las primeras $12$ horas del día, en el que el buque puede entrar. 4 p
- Explica una limitación de este modelo si se quisiera utilizar para predecir la profundidad del agua dentro de un mes. 2 p
Corrección paso a paso
a) Amplitud y profundidad media
$a$ es la amplitud: la variación máxima, en metros, respecto de la profundidad media. $d = 9$ m es la profundidad media del agua.
Cada cálculo 1 p, cada interpretación 1 p.
b) Periodo, $b$ y $c$
De marea alta a marea baja transcurre medio periodo:
El máximo se alcanza en $t = 4$, de modo que $b(4 - c) = \frac{\pi}{2}$ y por tanto
Periodo 2 p, $b$ 1 p, $c$ 2 p.
c) Profundidad a las 13:00
Sustitución 1 p, calculadora en radianes 1 p, resultado 1 p.
d) Cuándo puede entrar el buque
Con tecnología, $h(t) = 11$ para $t \approx 2{,}05$ y $t \approx 5{,}95$.
Planteamiento 2 p, ambas soluciones 1 p, intervalo correcto 1 p.
e) Una limitación
Cualquier limitación razonada. Por ejemplo: el modelo supone amplitud y periodo constantes, mientras que la amplitud real de las mareas varía a lo largo del mes con las fases lunares (mareas vivas y muertas); tampoco recoge el efecto de la presión atmosférica ni del viento.
Limitación 1 p, justificación en el contexto 1 p.