Pregunta 1 · Sector circular: el aspersor
Grados a radianes, longitud de arco y área de una corona circular; ángulo para un área dada
Puntuación máxima · 12 puntosUn aspersor de riego está fijado en el punto $O$ de un campo. El chorro alcanza una distancia máxima de $9$ m y el brazo gira describiendo un ángulo de $150^\circ$. Por su propia construcción, el aspersor no riega la zona situada a menos de $2$ m del punto $O$.
- Expresa el ángulo de giro en radianes, dando la respuesta exacta en función de $\pi$. 2 p
- Halla la longitud del arco que describe el extremo del chorro. 3 p
- Halla el área de la superficie regada. 4 p
- Se quiere modificar el aspersor para que riegue una superficie de $150$ m², manteniendo el alcance de $9$ m y la zona sin regar de $2$ m. Halla el nuevo ángulo de giro, en radianes y en grados. 3 p
IB AI HL
TANS 3.7
Corrección paso a paso
a) Grados a radianes
$$150^\circ = 150\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\ \text{rad}$$
Factor de conversión 1 p, resultado exacto 1 p.
b) Longitud del arco
$$\ell = r\theta = 9\cdot\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{15\pi}{2} \approx 23{,}6\ \text{m}$$
Fórmula 1 p, sustitución 1 p, resultado 1 p.
c) Área regada
Es la diferencia de dos sectores del mismo ángulo:
$$A = \dfrac{1}{2}\left(R^2 - r^2\right)\theta = \dfrac{1}{2}\left(9^2 - 2^2\right)\cdot\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{385\pi}{12} \approx 101\ \text{m}^2$$
Idea de restar los dos sectores 2 p, sustitución 1 p, resultado 1 p.
d) Nuevo ángulo
$$\dfrac{1}{2}\,(81-4)\,\theta = 150 \;\Longrightarrow\; \theta = \dfrac{300}{77} \approx 3{,}90\ \text{rad} \approx 223^\circ$$
$\theta \approx 3{,}90$ rad $\approx 223^\circ$
Planteamiento 1 p, radianes 1 p, grados 1 p.