Pregunta 1 · Sector circular: l'aspersor
Graus a radians, longitud d'arc i àrea d'una corona circular; angle per a una àrea donada
Puntuació màxima · 12 puntsUn aspersor de reg està fixat al punt $O$ d'un camp. El raig arriba a una distància màxima de $9$ m i el braç gira descrivint un angle de $150^\circ$. Per la seva pròpia construcció, l'aspersor no rega la zona situada a menys de $2$ m del punt $O$.
- Expressa l'angle de gir en radians, donant la resposta exacta en funció de $\pi$. 2 p
- Troba la longitud de l'arc que descriu l'extrem del raig. 3 p
- Troba l'àrea de la superfície regada. 4 p
- Es vol modificar l'aspersor perquè regui una superfície de $150$ m², mantenint l'abast de $9$ m i la zona sense regar de $2$ m. Troba el nou angle de gir, en radians i en graus. 3 p
IB AI HL
TANS 3.7
Correcció pas a pas
a) Graus a radians
$$150^\circ = 150\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\ \text{rad}$$
Factor de conversió 1 p, resultat exacte 1 p.
b) Longitud de l'arc
$$\ell = r\theta = 9\cdot\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{15\pi}{2} \approx 23{,}6\ \text{m}$$
Fórmula 1 p, substitució 1 p, resultat 1 p.
c) Àrea regada
És la diferència de dos sectors del mateix angle:
$$A = \dfrac{1}{2}\left(R^2 - r^2\right)\theta = \dfrac{1}{2}\left(9^2 - 2^2\right)\cdot\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{385\pi}{12} \approx 101\ \text{m}^2$$
Idea de restar els dos sectors 2 p, substitució 1 p, resultat 1 p.
d) Nou angle
$$\dfrac{1}{2}\,(81-4)\,\theta = 150 \;\Longrightarrow\; \theta = \dfrac{300}{77} \approx 3{,}90\ \text{rad} \approx 223^\circ$$
$\theta \approx 3{,}90$ rad $\approx 223^\circ$
Plantejament 1 p, radians 1 p, graus 1 p.