El enunciado
Vaya, mi compañero me ha dicho que $0{,}\overline{9}$ es igual a $1$. ¿Tú qué dices?
$0{,}\overline{9} = 0{,}9999\ldots$, con infinitos nueves.
Míralo
Piensa el $1$ como un rectángulo entero (tiene las proporciones justas para que cada trozo que queda en blanco sea igual que el rectángulo, pero más pequeño). Para $0{,}9$ lo partimos en $10$ partes iguales y pintamos $9$: queda una en blanco. Para $0{,}99$, la parte blanca se vuelve a partir en $10$ y se pintan $9$. Y así con cada nueve. Si $0{,}\overline{9}$ y $1$ fueran diferentes, tendría que quedar un trozo de rectángulo en blanco. ¿Dónde está?
Con cualquier número de nueves, la parte blanca está, pero cada nueve la hace $10$ veces más pequeña: enseguida no se ve sin la lupa, y la lupa tiene que ampliar cada vez más. $0{,}\overline{9}$ tiene infinitos nueves: no queda ningún trozo de rectángulo por pintar, por pequeño que lo quieras hacer. No hay diferencia entre $0{,}\overline{9}$ y $1$.
¿Tú qué dices?
¿Es cierto que $0{,}\overline{9} = 1$? Justifícalo.
Ver la solución
En el numerador ponemos el número sin la coma hasta el final del primer periodo ($09 = 9$) y le restamos la parte que no es periodo ($0$). En el denominador, tantos nueves como cifras tiene el periodo: uno.
$0{,}\overline{9} = 1$
Es de donde sale la regla de la fracción generatriz. Llamamos $N = 0{,}999\ldots$ y lo multiplicamos por $10$: los nueves de después de la coma siguen siendo infinitos.
$N = 1$
¿Por qué cuesta creerlo? Porque con un número finito de nueves siempre falta algo (lo has visto en la figura). Con infinitos nueves, lo que falta es más pequeño que cualquier número positivo que puedas pensar, y el único número que cumple eso es el $0$. No hay ningún número entre $0{,}\overline{9}$ y $1$: son el mismo número escrito de dos maneras.