L'enunciat
Ostres, el meu company m'ha dit que $0{,}\overline{9}$ és igual a $1$. Tu què hi dius?
$0{,}\overline{9} = 0{,}9999\ldots$, amb infinits nous.
Mira-ho
Pensa el $1$ com un rectangle sencer (té les proporcions justes perquè cada tros que queda en blanc sigui igual que el rectangle, però més petit). Per a $0{,}9$ el partim en $10$ parts iguals i en pintem $9$: en queda una en blanc. Per a $0{,}99$, la part blanca es torna a partir en $10$ i se'n pinten $9$. I així amb cada nou. Si $0{,}\overline{9}$ i $1$ fossin diferents, hi hauria d'haver un tros de rectangle en blanc. On és?
Amb qualsevol nombre de nous, la part blanca hi és, però cada nou la fa $10$ vegades més petita: de seguida no es veu sense la lupa, i la lupa ha d'ampliar cada cop més. $0{,}\overline{9}$ té infinits nous: no queda cap tros de rectangle per pintar, per petit que el vulguis fer. No hi ha diferència entre $0{,}\overline{9}$ i $1$.
Tu què hi dius?
És cert que $0{,}\overline{9} = 1$? Justifica-ho.
Veure la solució
Al numerador hi posem el nombre sense la coma fins al final del primer període ($09 = 9$) i li restem la part que no és període ($0$). Al denominador, tants nous com xifres té el període: un.
$0{,}\overline{9} = 1$
És d'on surt la regla de la fracció generatriu. Diem $N = 0{,}999\ldots$ i el multipliquem per $10$: els nous de després de la coma continuen sent infinits.
$N = 1$
Per què costa de creure? Perquè amb un nombre finit de nous sempre falta alguna cosa (ho has vist a la figura). Amb infinits nous, el que falta és més petit que qualsevol nombre positiu que puguis pensar, i l'únic nombre que compleix això és el $0$. No hi ha cap nombre entre $0{,}\overline{9}$ i $1$: són el mateix nombre escrit de dues maneres.