Repaso de 3.º de ESO · Retos matemáticos

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Haz los ejercicios siguientes para preparar el control del 5 de octubre.

Cada apartado lleva la solución plegada: abre el ▶ cuando lo hayas intentado.

Ejercicio 1

En una escuela de $480$ alumnos, el $25\ \%$ practica un deporte de equipo, el $30\ \%$ practica un deporte individual y el $15\ \%$ practica los dos tipos.

a) ¿Cuántos alumnos practican deporte de equipo?

480 \cdot 0{,}25 = 120

$120$ alumnos.

b) ¿Cuántos practican deporte individual?

480 \cdot 0{,}30 = 144

$144$ alumnos.

c) ¿Cuántos practican los dos tipos?

480 \cdot 0{,}15 = 72

$72$ alumnos.

d) ¿Qué porcentaje de la escuela practica al menos uno de los dos tipos de deporte?

No hay que contar dos veces a los que hacen los dos tipos:

25\ \% + 30\ \% - 15\ \% = 40\ \%

e) ¿Cuántos alumnos representa?

480 \cdot 0{,}40 = 192

$192$ alumnos. Comprobación: $120 + 144 - 72 = 192$.

Ejercicio 2

En una biblioteca hay $1\,200$ libros. El $35\ \%$ son novelas. De estas novelas, el $40\ \%$ están escritas originalmente en catalán.

a) ¿Cuántas novelas hay?

1\,200 \cdot 0{,}35 = 420

$420$ novelas.

b) ¿Cuántas son originalmente en catalán?

420 \cdot 0{,}40 = 168

$168$ novelas.

c) ¿Qué porcentaje del total de libros representan estas novelas en catalán?

\dfrac{168}{1\,200} = 0{,}14

Es decir, el $14\ \%$. También sale directamente: $0{,}35 \cdot 0{,}40 = 0{,}14$.

Ejercicio 3

Un depósito está formado por un cilindro de radio $4$ m y altura $10$ m y, en la parte superior, una semiesfera del mismo radio. En el interior hay una estructura cilíndrica sólida de radio $1{,}5$ m y altura $8$ m que ocupa espacio. Calcula la capacidad real del depósito en m³. Recuerda que $V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h$ y $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Ver la solución

Cilindro:

\pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi

Semiesfera (la mitad de una esfera):

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \dfrac{128}{3}\pi

Estructura interior, que se resta porque ocupa espacio:

\pi \cdot 1{,}5^2 \cdot 8 = 18\pi

Capacidad:

160\pi + \dfrac{128}{3}\pi - 18\pi = \dfrac{554}{3}\pi \approx 579{,}85 \text{ m}^3

Con $\pi = 3{,}14$. Con la tecla $\pi$ de la calculadora sale $580{,}12\ \text{m}^3$.

Ejercicio 4

Una pieza metálica tiene forma de cilindro de radio exterior $6$ cm y altura $15$ cm. En el centro se le hace un agujero cilíndrico que atraviesa toda la pieza y tiene radio $2$ cm. Usa $\pi = 3{,}14$.

a) Calcula el volumen de metal que queda.

V = \pi \cdot 6^2 \cdot 15 - \pi \cdot 2^2 \cdot 15 = \pi \cdot 15 \cdot (36 - 4) = 480\pi = 1\,507{,}2 \text{ cm}^3

b) Calcula cuántos cm³ de metal se han eliminado al hacer el agujero.

V_{\text{agujero}} = \pi \cdot 2^2 \cdot 15 = 60\pi = 188{,}4 \text{ cm}^3

Ejercicio 5

Una pista tiene forma de rectángulo de $30$ m de largo y $16$ m de ancho, con un semicírculo en cada uno de los lados cortos. En el interior hay una zona de la misma forma, con un rectángulo de $30 \times 10$ m y dos semicírculos de diámetro $10$ m. Calcula el área de la pista, es decir, la zona comprendida entre la figura exterior y la interior.

Ver la solución

Figura exterior: el rectángulo de $30 \times 16$ más dos semicírculos de diámetro $16$ (radio $8$), que juntos forman un círculo:

30 \cdot 16 + \pi \cdot 8^2 = 480 + 64\pi

Figura interior: el rectángulo de $30 \times 10$ más un círculo de radio $5$:

30 \cdot 10 + \pi \cdot 5^2 = 300 + 25\pi

Pista:

(480 + 64\pi) - (300 + 25\pi) = 180 + 39\pi \approx 180 + 122{,}46 = 302{,}46 \text{ m}^2

Con $\pi = 3{,}14$. Con la tecla $\pi$ sale $302{,}52\ \text{m}^2$.

Ejercicio 6

Una placa cuadrada tiene $20$ cm de lado. En el centro hay dos círculos concéntricos: el círculo grande tiene radio $9$ cm y el pequeño, radio $5$ cm. La zona sombreada es la parte del cuadrado que queda fuera del círculo grande, junto con el interior del círculo pequeño. Calcula el área total sombreada.

Ver la solución

Cuadrado:

$$20^2 = 400$$

Círculo grande y círculo pequeño:

\pi \cdot 9^2 = 81\pi \qquad \pi \cdot 5^2 = 25\pi

Sombreado: el cuadrado sin el círculo grande, más el círculo pequeño:

400 - 81\pi + 25\pi = 400 - 56\pi \approx 400 - 175{,}84 = 224{,}16 \text{ cm}^2

Con $\pi = 3{,}14$.

Ejercicio 7

Un cuadrado tiene $12$ cm de lado. Desde cada uno de los cuatro vértices se dibuja, hacia el interior, un cuarto de círculo de radio $6$ cm. Calcula el área de la zona sombreada, es decir, la parte del cuadrado que no queda cubierta por los cuatro cuartos de círculo. Usa $\pi = 3{,}14$.

Ver la solución

Los cuatro cuartos de círculo de radio $6$ cm suman un círculo entero:

A_{\text{círculos}} = \pi \cdot 6^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04 \text{ cm}^2

Área del cuadrado y zona sombreada:

12^2 = 144 \qquad 144 - 113{,}04 = 30{,}96 \text{ cm}^2