5. Deberes corregidos (15 sep) · Fracciones

5. ¿Son equivalentes?

Indica si estos pares de fracciones son equivalentes.

a) $\displaystyle \dfrac{1}{3} \quad \text{y} \quad \dfrac{2}{5}$

Multiplicamos en cruz:

1 \cdot 5 = 5 \qquad 3 \cdot 2 = 6

Los dos productos no coinciden.

No son equivalentes.

b) $\displaystyle \dfrac{4}{5} \quad \text{y} \quad \dfrac{12}{15}$

Multiplicamos en cruz:

4 \cdot 15 = 60 \qquad 5 \cdot 12 = 60

Coinciden. De hecho, simplificando entre $3$ queda $\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$.

Sí son equivalentes.

Averigua qué valor tiene que tener $R$ para que las siguientes fracciones sean equivalentes.

a) $\displaystyle \dfrac{42}{28} = \dfrac{18}{R}$

Producto cruzado y despejamos la $R$:

42 \cdot R = 28 \cdot 18 \;\Longrightarrow\; R = \dfrac{28 \cdot 18}{42}

Descomponemos en factores primos para no tener que multiplicar números grandes:

R = \dfrac{(2 \cdot 2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 3)}{2 \cdot 3 \cdot 7} = 2 \cdot 2 \cdot 3

$$R = 12$$

Comprobación: $\dfrac{42}{28} = \dfrac{3}{2}$ y $\dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$.

Ordena las siguientes fracciones de mayor a menor.

a) $\displaystyle \dfrac{27}{18}, \quad \dfrac{31}{36}, \quad \dfrac{3}{5}, \quad \dfrac{13}{9}$

Descomponemos los denominadores en factores primos:

18 = 2 \cdot 3^2 \qquad 36 = 2^2 \cdot 3^2 \qquad 5 = 5 \qquad 9 = 3^2

El MCM toma cada primo con el mayor exponente:

\text{MCM}(18, 36, 5, 9) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180

Amplificamos todas las fracciones a denominador $180$:

\dfrac{270}{180}, \quad \dfrac{155}{180}, \quad \dfrac{108}{180}, \quad \dfrac{260}{180}

Con el mismo denominador mandan los numeradores: $270 > 260 > 155 > 108$.

\dfrac{27}{18} > \dfrac{13}{9} > \dfrac{31}{36} > \dfrac{3}{5}