Pregunta 2 · Logaritmes
Resolució d'una equació logarítmica per trobar la base i avaluació d'un logaritme amb arrels.
Puntuació màxima · 4 puntsTroba el valor de $x$ o resol el logaritme següent.
- $\log_{x}\!\left(\dfrac{49}{4}\right) = -2$ 2 p
- $\log_{3}\!\left(\sqrt[4]{27 \cdot \sqrt[3]{9}}\right)$ 2 p
Correcció pas a pas
Idea clau: per definició, $\log_{a}(b) = c \;\Longleftrightarrow\; a^{c} = b$. I per avaluar logaritmes amb arrels, posa-ho tot com a potència de la base i simplifica.
a) $\log_{x}\!\left(\dfrac{49}{4}\right) = -2$
Per definició, $x^{-2} = \dfrac{49}{4}$, és a dir, $\dfrac{1}{x^{2}} = \dfrac{49}{4}$.
(prenem la solució positiva, perquè la base d'un logaritme ha de ser positiva i diferent d'$1$).
Verificació: $\left(\tfrac{2}{7}\right)^{-2} = \left(\tfrac{7}{2}\right)^{2} = \tfrac{49}{4}$ ✓.
b) $\log_{3}\!\left(\sqrt[4]{27 \cdot \sqrt[3]{9}}\right)$
Posem-ho tot en base $3$: $27 = 3^{3}$, $9 = 3^{2}$, així $\sqrt[3]{9} = 3^{2/3}$.
Llavors $27 \cdot \sqrt[3]{9} = 3^{3} \cdot 3^{2/3} = 3^{3 + 2/3} = 3^{11/3}$.
Per tant: